高等代数【北大版】3-6

一、齐次线性方程组解的结构二、一般线性方程组解的结构§3.6线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构1解的性质性质1（1）的两个解的和还是（1）的解.性质2（1）的一个解的倍数还是（1）的解.性质3（1）的解的任一线性组合还是（1）的解.111122121122221122000nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（1）§3.6线性方程组解的结构2解空间所成集合，则12121),WW、2),,kPWkW空间，称之为齐次线性方程组（1）的解空间．设为齐次线性方程组（1）的全体解向量W即关于解的线性运算封闭，所以是一个向量WW定义§3.6线性方程组解的结构齐次线性方程组(1)一组解向量，12,,,r若满足ii）(1)的任一解向量可由线性表出.12,,,ri）线性无关；12,,,r则称为(1)的一个基础解系．12,,,r3基础解系定义§3.6线性方程组解的结构4基础解系的存在性定理7在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于，其中n是未知量的个数，nr().rRA§3.6线性方程组解的结构证：则（1）可改写成若，()RArn112110,raaaaaaaaa121r222rr2rr………………………………不妨设11112211,11121122222,1121122,11rrrrnnrrrrnnrrrrrrrrrnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax（2）§3.6线性方程组解的结构代入自由未知量，11(,,,)rrnxxx也即（1）的个解nr111121221222--,1-,2-,(,,,,1,0,,0)(,,,,0,1,,0)(,,,,0,0,,1)rrnrnrnrnrrcccccccccnr用组数(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)就得到（2）的解，nr且满足：12,,,n-r①线性无关.,12n-r,,§3.6线性方程组解的结构事实上，若1122--0,nrnrkkk12(,,,,,,,)nrkkk(0,0,,0)120nrkkk，②任取（1）的一个解12(,,,),nccc即1122nrnrkkk……线性无关．12nr,,,故线性表出．12,,，nr可由§3.6线性方程组解的结构事实上，由是（1）的解，得12,,,nr也为（1）的解，即11……rnnrcc111(,,,,,,)rnnrrncccc为（1）的解.它与的最后个分量相同，nr即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解．11……rnnrcc.故由①②知，12,,,n-r为（1）的一个基础解系．§3.6线性方程组解的结构推论1任一线性无关组的与（1）的某一基础解系等价的向量组都是（1）的基础解系．设为（1）的一个基础解系，12,,,t线性无关，且与等价，12,,,s12,,,t且可由线性表出，i12,,,t所以也为（1）的解向量i证：,st则(1,2,,).it任取（1）的一个解向量，则可由12，，，t从而可由线性表出.12,,,t线性表出，也是（1）的基础解系.12,t,,§3.6线性方程组解的结构推论2若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为r,则(1)的任意n－r个线性无关的解向量都是(1)的基础解系．设为(1)的一个基础解系，12,,,,nr证：12,,,nr为(1)的n－r个线性无关的解向量，考察向量组12112,,,,,,,()nnr知的秩为n－r.()1212,,,,nrnr,,与都是向量组的极大无关组.()1212,,,,nrnr故,,与等价.推论1得证.§3.6线性方程组解的结构5齐次线性方程组解的结构若为齐次线性方程组（1）的一个12t,,,1112,tttkkkkkP……,,,基础解系，则（1）的一般解（或通解）为11|,1,,,ttiWkkkPit令则就是齐次线性方程组（1）的解空间．W§3.6线性方程组解的结构例1求齐次线性方程组的基础解系．1234123412340253207730xxxxxxxxxxxx解：对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵111125327731A111107540141081111075400003277547710010000§3.6线性方程组解的结构令得340,1,xx令得341,0,xx原方程组的解为13423423775477xxxxxx52177(,,1,0)原方程的基础解系为12,.34177(,,1,0)§3.6线性方程组解的结构附：求基础解系的一般方法对方程组(1)的系数矩阵A作初等行变换，化A为行最简形．不妨设1,112,12,11000100010000000000rnrnrrrnccccAcc初等行变换第一步：§3.6线性方程组解的结构写出方程组(1)的一般解：第二步：11,11122,112,11rrnnrrnnrrrrrnnxcxcxxcxcxxcxcx第三步：为自由未知量.11,,,rrnxxx代入自由未知量，11(,,,)rrnxxxnr用组数(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)得出方程组(1)的解：nr§3.6线性方程组解的结构11,12,1,121,22,2,2-12(,,,,1,0,,0)(,,,,0,1,,0)(,,,,0,0,,1)rrrrrrrrnrnnrnccccccccc向量组即为方程组(1)的一个基础解系.12nr,,,练习求齐次线性方程组的基础解系．123412341234030230xxxxxxxxxxxx§3.6线性方程组解的结构二、一般线性方程组解的结构设线性方程组则齐次线性方程组（3）11112211211222221122nnnnsssnnsaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（4）111122121122221122000nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax称为（3）的导出组．§3.6线性方程组解的结构1解的性质性质1非齐次线性方程组（3）的两个解的差12、为其导出组（4）的解．12-性质2非齐次线性方程组（3）的一个解与其导出组（4）的一个解的和仍为（3）的解．注非齐次线性方程组的两个解的和及一个解的倍数一般不再是该非齐次线性方程组的解.§3.6线性方程组解的结构2非齐次线性方程组解的结构定理8如果是非齐次线性方程组（3）的一个00为其导出组（4）的一个解．从而，方程组（3）的一般解为011nrnrkk12,,,nr为导出组（4）的一个基础解系．特解，那么方程组（3）的任一个解都可以表成§3.6线性方程组解的结构推论非齐次线性方程组（3）在有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出（4）只有零解.证：“”设（3）有唯一解．0若其导出组（4）有非零解，则有也为（4）的解，k()kP从而皆为（3）的解.0()kkP矛盾.“”假若（3）有两个不同的解，则12、12(0)为（4）的一个非零解.矛盾.§3.6线性方程组解的结构求出(3)的导出组(4)的一个基础解系12,,,t3求一般线性方程组(3)的一般解的步骤第二步：第三步：写出(3)的一般解(通解)若有无穷多个解，先写出(3)的一个特解0.01112,.tttkkkkkP，，，对(3)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵,第一步：根据阶梯阵判断(3)是否有解．§3.6线性方程组解的结构1224122411224203123xxxxxxxxxxxx例2求解方程组解：1111011131112312A对方程组的增广矩阵作初等行变换12131111000241001212rrrr11011200121200000()§3.6线性方程组解的结构由(),()()24,RARA1243412122xxxxx令240,xx011(,0,,0)22即得原方程组的一个特解得1312xx由，原方程组的导出组与下方程组同解()124342xxxxx原方程组有解，并有§3.6线性方程组解的结构令，得241,0xx1(1,1,0,0)即为导出组的一个基础解系．12,令，得240,1xx2(1,0,2,1)故原方程组的通解为0112212,()kkkkP、.11221121223411010,,().02001xxkkkkPxx即、