群论及应用

$5-1群的定义和基本概念一为什么要学群论1、物理与化学的许多研究对象与对称性联系。2、表象本质3、光谱4、简化计算（如判断积分是否为零）二群的定义一个集合G（A，B，C，…）,对于一个乘法,如果满足条件,构成群1）封闭性2）缔合性：3）单位元素4）逆元素三子群如果群G中的一部分元素对于群G的乘法也构成群H，则群H称作群G的子群。有二个平凡子群（非真子群）E（单位元素）和G（G群本身）其它为真子群四共轭元素与类1）共轭元素：设A，B，X是一个群的任何三个元素，若满足AXXB1则称A，B相互共轭。（相似变换）以C3v)例:231323113231123VVVVCCCCC1V3V2V2）类的定义：相互共轭的元素的集合称为一个共轭类。一个类中包含的元素数目称作它的阶。3）共轭元素的性质（1）每个元素自身共轭。AXXA1(为什么？）（X=E）（2）A与B共轭，则B与A共轭（相互）BXXA1AXYXAXB11（3）A与B共轭，A与C共轭，则B与C共轭。（传递性）BXXA111ZCZCYYA1111)()(XZCXZXXZCZXAXB（4）群中二个不同类没有共同元素（从传递性可以证明）（5）单位元素自成一类因为EEEEAAAEAE11（6）对易群每个元素自成一类对易群：AB=BABBEABABAA11（7）一个类中所有元素都有相同的周期a什么是周期？EAn（则n称为A的周期）b证明：EEXXXAXAXXAXAXXXAXXBnnn111111)(（逆定理不成立）（8）若两元素（对称操作）同类，则两对称元素可经某一操作使之重合。（化学中用于判断方法）如NH3中的3个对称面是同类。而水分子中二个对称面则不同类。又如苯分子中的二次轴,分为二类五同构与同态1、同构：设有两个同阶的群：),,,,{21mAAAEG),,,,'{'21mBBBEG如:D3与C3V,{立正,右,左,后}与{1,-1,i,-i}iiBAkkBA则：kikiBBAA称G与G’同构。它们的元素之间一一对应并满足下列性质2、同态：设有两个不同阶的群：),,,,{21mAAAEG),,,,'{'21nBBBEG若G中任何一个元素都可以在G’中找到一个元素和他对应，并满足下列性质则：称G与G’同态。321iiiiAAAB321kkkkAAABkikmilBBAA如:C3V和Ｃi群2313CCEE321I六直积112{,,,,}imGEAAAA如果有两个群:212{,,,,}jkGEBBBB如果它们的元素彼此相乘的意义明确,并且相互对易:ijjiABBA则可以定义一个更大的群G,G为G1和G2的直接乘积G1G2121212{,,,,}{,,,,}imjkGGGEAAAAEBBBBG中包含的每一个元素都可以唯一地写成ＡiBj21333{,,}GECCC例如:2{,}hsGEC定义直积122332233333{,,}{,}{,,,,,}hhhhhGGGECCEECCCCC直积群有如下性质:1、各个直因子的共同元素只有单位元素。2、各个直因子都是G的不变子群七特征标（实为矩阵内容，群通过矩阵表示）1、定义：（矩阵的迹）iiax2、AB与BA有相同的特征标)(BAAB证明：jjiijiiiiABbacxABjjiijiijjjiiijijijjjjBAxbaababdxAXXB111BiiijjkkiiijkkiijjkjkikjjkjjAjkjxbXaXXXaaax3、共轭矩阵特征标相同$5-2分子点群nnvnhsinCCCCCDnhndndhDDSTO$5-3群表示理论一、什么是群表示？群G（对称群）用同构或同态的矩阵群来表示。1、基矢变换和坐标变换进行对称操作，就是把物体各点的位置按一定规律变动。这样有两种表示方法：给定坐标系，物体的各点的坐标按一定规律变换。坐标系变化，物体中各点坐标变化情况。（1）基矢变换（坐标系旋转）坐标系取向改变时，空间固定点的P的坐标如何变化。),,(kji)',','(kjiOP设有两个原来相重合的坐标系OXYZ和OX’Y’Z’（右手直角坐标系），它们的基矢分别用和来表示。P点，在OXYZ坐标系中的坐标为（x,y,z），则矢径为：OPxiyjzkrezyxkji,,kjie,,zyxr（习惯上指把基矢写成行矩阵，坐标写成列矩阵）物体不动，坐标系OX’Y’Z’经变换R到新的位置。P在OX’Y’Z’坐标系中的坐标为（x’,y’,z’）则矢径'''OPxiyjzk'''''',','rezyxkji如果基矢)',','(kji在OXYZ坐标系中的分量用矩阵D（R）表示：)('RDeererRDereOP')(''1'[()]rDRr（1）（2）(1)是基矢变换,(2)是坐标变换.基矢和与坐标为逆变换.（2）坐标变换（物体旋转）若令物体随OX’Y’Z’坐标系一起变换R（物体运动），物体上的P点移到空间另一点P’上，自然P’点在OX’Y’Z’的坐标系中的坐标还是(x,y,z)，设P’点在OXYZ坐标系的坐标为(x’,y’,z’)，则：'''rereOP因为'()eeDR')('rerRDeOP'()rDRr比较（3）和（2）式，将物体固定变换基矢与将基矢固定使物体作相反方向变动时，物体上各点的坐标变换情况是一样的。（3）矩阵D（R）完全反应了变换R（对称操作）的作有结果。所以把D（R）称为变换R的矩阵表示。把变换看作算符R则D（R）可以表示为)(eRRDerRDrR)(（3）对称操作矩阵D（R）的性质对称操作的特点是保持两点间距不变。'OQOQOQ'OQ设Q（x,y,z）和Q’(x’,y’,z’)为其中任意两点。则矢量的长度在R的作用下保持不变。矢量和在R的作用下，长度，夹角都不变。所以基变换坐标变换)'()('OQROQROQOQ'''xxyzyz''')()(zyxRDRDzyxT)()()(EDRDRDT故有矩阵的转置所以)()(1RDRDT表明D（R）变换矩阵是一个正交变换矩阵。（4）（5）1|)()(|RDRDT1|)(|2RD1|)(|RD意义：+1对应第一类操作（实操作），-1对应第二类操作（虚操作）。由（４）可知意义：+1对应第一类操作（实操作），-1对应第二类操作（虚操作）。（｜Ａ｜｜Ｂ｜＝｜ＡＢ｜）2、对称操作群的矩阵的表示（1）)(ZC的表示（绕Z轴旋转）（请注意，作用对象不同，表示不同（基矢不同，表示不同））①以x,y为基（Px,Py）cossin''sincosxyxycossinsincos))((zCD可以证明：)((~))((1ZZCDCD正交矩阵（以及前面的D矩阵性质））)(ZC（x,y）＝②以Z（Pz）为基。Z’=Z1))((zCD③以X，Y，Z（Px,P,y,Pz）为基1000cossin0sincos))((zCD同理，以(x,z,y),(z,x,y)等（2）VC3群各元素的表示1V3V2VYX以（X，Y）为基1001E2123232113C2123232123C10011V212323212123232110011312CVV212323213V以Z为基1E113C123C11V12V13V以RZ为基1E113C123C11V12V13V以（X，Y，Z），（PX，PY，PZ），（X，Y，Z，RZ），（PX，PY，PZ，RZ），5个d轨道等3、可约表示、不可约表示从上面结果可见：（1）基不同，表示不同，基很多，表示很多。（2）等价表示（等价表示的共同特征，特征标相同，矩阵的迹。）（3）不等价表示问题转化为研究不等价的酉表示表示。（选正交归一的基组）可约表示和不可约表示如果有一个相似变换（或是说基组的变化）能把某一表示的所的矩阵变为完全相同的方块形式。则表示称为可约表示。)(000)(000)()(211RDRDRDARDAk如果不存在这样的相似变换则称为不可约表示。可约表示记为：iiia自然要提出这样的问题：（A）如何判断一个表示是否可约？（B）可约表示的约化是否唯一？（C）一个群的不等价不可约的表示数目有多少？找到不等价、不可约、酉表示（ＳＴ=s-1）（实）Ｓ＋=s-1三、群表示理论(一)有关不可约表示的五个重要规则1.群的不可约表示的维数平方和等于群的阶hlii22不可约表示的特征标的平方和等于群的阶hRxRi)(23由两个不同的不可约表示的特征标作为分量的矢量相互正交。0)()(RjiRxRx4在一个可约或不可约表示中，所有同一类的操作的矩阵特征标相等5群的不可约数目等于群的类的数目。(二)可约表示的约化RiiRxRXha)()(1Xix为可约表示的特征标。为不可约表示的特征标。(三)特征标表的构造1、C2V群（1）共有四个群元素212,,,VVCE（2）每个元素一类，共四类。（3）共有四个不可约表示（不可约表示的数目=类数）424232221llll（4）所以仅一个解：14321llll（5）所有群都有一个全对称表示4)(2RiRx1)(2Rxi1)(Rx（6）1)(Rx（7）正交性：0)()(RjiRxRx（8）特征标表VC2E2C1V2VA11111A211-1-1B11-11-1B21-1-11,'h熊夫利符号对称操作A，B一维E二维T三维g,u中心对称与反对称,对称或反对称。还有基组2、C3V群（1）共有六个群元素3212313,,,,,VVVCCE（2）共三类。E2313,CC321,,VVV（3）共有三个不可约表示（不可约表示的数目=类数）（4）6232221lll所以仅一个解121ll23l（5）所有群都有一个全对称表示6)(2RiRx（6）（7）正交性：0)()(RjiRxRx（8）特征标表VC3E32CV3A1111A211-1E2-10(四)广义正交定理1、广义正交定理公式为群的两个不可约酉表示ij若和''*''])(][)([nnmmijjiRnmjmnillhRR注意各个符号的意义。2、有关不可约表示的五个重要规则的证明证1不可约表示的特征标的平方和等于群的阶iilmnnmmiiihRlmmmimmiRihlhRRRx])(][)()(2证2由两个不同的不可约表示的特征标作为分量的矢量相互正交归一0])(][)([])([])([)()('''''''''mmmmmmijjimmRmmjmmihRlmmmmjmmiRjillhRRRRRxRxi证3可约表示的约化RiiRxRXha)()(1由kjjja因为表示矩阵的约化是进行相似变换，特征标不变。所以有iiiRxaRX)()(用*)(Rxi，作用于两边并