正弦定理

第二章解三角形§1正弦定理与余弦定理1．1正弦定理栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形1．正弦定理在一个三角形中，各边和的比相等，即＝＝＝2R(其中R为△ABC的外接圆半径)．2．三角形的面积公式对于任意△ABC，若a、b、c分别为三内角A，B，C的对边，则△ABC的面积S＝＝＝abc4R(其中ha为边a上的高，R为△ABC的外接圆半径)．它所对角的正弦asinAbsinBcsinC12aha12absinC栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理不适用于直角三角形．()(2)在△ABC中，等式asinA＝bsinB总能成立．()(3)在△ABC中，若A＝30°，a＝2，b＝23，则B＝60°.()×××栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是()A.ab＝cosAcosBB.ab＝sinAsinBC．asinB＝bcosAD．acosB＝bsinA解析：选B.在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，得ab＝sinAsinB.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，sinA＝35，则sinB＝()A.25B．23C.35D．无法确定答案：A在△ABC中，已知a＝5，sinC＝2sinA，则c＝________．答案：25栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则B的值为________．解析：根据正弦定理知sinAa＝sinBb，结合已知条件可得sinB＝cosB，又0°B180°，所以B＝45°.答案：45°栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形1．对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形2．正弦定理的常用变形(1)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.(2)若AB，则sinAsinB．(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形已知两角及一边解三角形在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．【解】因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.由asinA＝csinC得a＝csinAsinC＝10×sin45°sin30°＝102.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形因为sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64，所以b＝csinBsinC＝10×sin（A＋C）sin30°＝20×2＋64＝52＋56.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形1.(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，sinB＝6365，a＝1，则b＝________．(2)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.解：(1)因为A为△ABC的内角，且cosA＝45，所以sinA＝35，又a＝1，sinB＝6365，由正弦定理得b＝asinBsinA＝sinBsinA＝6365×53＝2113.故填2113.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形(2)A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由bsinB＝asinA得，b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝46，由asinA＝csinC得，c＝asinCsinA＝8×sin75°sin45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．所以A＝45°，b＝46，c＝4(3＋1)．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC中的下列条件，解三角形：(1)a＝10，b＝20，A＝60°；(2)a＝23，b＝6，A＝30°.【解】(1)因为bsinB＝asinA，所以sinB＝bsinAa＝20sin60°10＝31，所以三角形无解．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形(2)a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°，因为bsinA＝6sin30°＝3，absinA，所以三角形有两解．由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，所以B＝60°或B＝120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝a2＋b2＝（23）2＋62＝43；栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形当B＝120°时，C＝30°，c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23.即B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解a＝b无解无解一解ab无解无解absinA两解a＝bsinA一解absinA无解栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形2.(1)在△ABC中，A＝π3，BC＝3，AB＝6，则角C等于()A.π4或3π4B．3π4C.π4D．π6(2)已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A．x2B．x2C．2x22D．2x23栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形解析：(1)选C.由正弦定理，得sinC＝sinA·ABBC＝22.因为BCAB，所以AC，则0Cπ3，故C＝π4.(2)选C.由asinBba，得22x2x，所以2x22.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形三角形面积问题△ABC的三个顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求△ABC的面积．【解】AB→＝(8，－3)，AC→＝(5，2)，结合教材中例3给出的公式得△ABC的面积S＝12|8×2－(－3)×5|＝312.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形三角形面积的两种求法(1)若已知△ABC的两边及其夹角，则S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.(2)若已知△ABC的三个顶点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，则S△ABC＝12|(x2－x1)(y3－y1)－(y2－y1)·(x3－x1)|.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形3.(1)△OAB的三个顶点为O(0，0)，A(8，7)，B(6，6)，则S△OAB＝________．(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝60°，cosA＝45，b＝3.①求sinC的值；②求△ABC的面积．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形解：(1)因为OA→＝(8，7)，OB→＝(6，6)，所以S△OAB＝12|8×6－7×6|＝3.故填3.(2)①因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝60°，cosA＝45，所以C＝120°－A，sinA＝35.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形于是sinC＝sin(120°－A)＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.②由①知sinA＝35，sinC＝3＋4310.又因为B＝60°，b＝3，所以在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.于是S△ABC＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形规范解答正弦定理与三角恒等变形的综合问题(本题满分12分)已知函数f(x)＝cos2x－2π3－cos2x(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若fB2＝－32，b＝1，c＝3，且ab，试求角B和角C.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形【解】(1)因为f(x)＝cos2x－2π3－cos2x＝32sin2x－32cos2x＝3sin2x－π3，(2分)所以函数f(x)的最小正周期为π.由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.所以单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．(6分)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形(2)因为f(B2)＝3sinB－π3＝－32，所以sinB－π3＝－12.因为0Bπ，所以－π3B－π32π3，所以B－π3＝－π6，即B＝π6.(9分)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形由正弦定理得，asinA＝1sinπ6＝3sinC，所以sinC＝32，因为0Cπ，所以C＝π3或2π3.当C＝π3时，A＝π2；当C＝2π3时，A＝π6，此时a＝b(不合题意，舍去)．(11分)所以B＝π6，C＝π3.(12分)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形(1)此步正确化简是解答本题的关键．只有限定了B－π3∈－π3，23π，才能由sinB－π3＝－12⇒B＝π6，此步易忽视，因而失分．(2)解决正弦定理与三角恒等变形的综合问题时，注意考虑正弦定理的转化，计算等工具性的作用，同时不要忽视三角形中一些常见的性质．如栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形a．三角形内角和定理A＋B＋C＝180°；b．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；c．大边对大角，大角对大边；d．sinAsinB⇔AB等．栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章解三角形1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA∶sinB的值是()A.53B．35C.37D．57解析：选A.由asinA＝bsinB，得sinA∶sinB＝a∶b＝53，故选A.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提