第二章-矩量法的基本原理-857902111

1第二章矩量法的基本原理§2.1.矩量法矩量法（methodofmoment）大约在20世纪60年代开始引进电磁学，从此矩量法在各种各样电磁学研究中得到了广泛的应用。包括天线问题、天线设计、微波网络、散射及辐射效应、微带结构分析、电磁兼容等各种问题。在矩量法的发展中，许多电磁学科学家做出了贡献，如Richmond，Mittra，Wilton等，特别是Harrington。（MOM之父？）RogerF.HarringtonK.K.Mei（梅冠香）矩量法在电磁场分析中有着广泛的应用，其基本思想是：将泛函方程化为矩阵方程，并求解该矩阵方程；利用线形空间和算子来加以表达。§2.1.1矩量法原理如果非齐次方程为()gfL=（2-1）式中L是线性算子，g为已知函数，f为未知函数。令f在L的定义域中被展开为的组合，如∑=nnnffα（2-2）式中nα是系数。nf被称为展开函数或基函数。对于精确解，式（2-2）通常是无穷项之和，而nf形成一个基函数的完备集。对于近似解，则通常是有限项之和。式（2-2）代入式（2-1），再应用算子L的线性便可以得到()gfLnnn=∑α（2-3）对此问题若定义一个适当的内积gf,，在L的值域内定义一个权函数或检验函数[]L,,21ωω的集合，并对每个mω取式（2-3）的内积，则gLfmnnmn,,ωωα=∑（2-4）2式中L3,2,1=m。此方程组可以写成如下的矩阵形式[][][]mnmngl=α（2-5）式中[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=LLLLL22122111,,,,LfLfLfLflmnωωωω（2-6）[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=MMgggmn,,2121ωωααα（2-7）如果矩阵[]l是非奇异性的，其逆矩阵[]1−l存在，则nα便由下式给出[][][]mmnngl1−=α（2-8）[]NωωωL,,21的选取，不要求与[]NfffL,,21相同，具有灵活性。当选择nnf=ω这种特殊情况时，通常称为伽略金法。如果L自伴，则nmmnll=，[]mnl成为对称矩阵。在任何一个特定的问题中，主要任务是选择nω和nf。必须是线性无关的，并且使得它们的某种叠加形式能够很好地逼近。也应该是线性无关的，并且也应该使得内积取决于的相对独立性。影响选择的其它因素：①精度取决于[]NfffL,,21的选取；②计算矩阵单元的难易；③能够求逆的矩阵大小；④良态矩阵[]mnl的可实现性。§2.1.2基函数点选配在实际问题中，式（2-6）的中的积分计算通常是很困难的。求近似解的一个简单方法是在所关心的区域内，要求在一些离散点上满足方程式（2-3），这种方法称之为点选配。就矩量法而言，这相当于用狄拉克函数作为检验函数，使得内积的计算简单化。取()mmxx−=δω，则()mmxxmmxxnnnmnmmngggLfdxxxLfdxLfLfl=====−===∫∫|,|,1010ωδωω（2-9）3局限：选取的点数比较大。分域基另一种实用的近似方法是分域基函法。它采用的各个基函数nf只是在f定义域的各个分域上存在，于是，展开式的每个nα只是在所关心区域的各个分域上才影响f的近似。这种方法通常可以简化计算以及简化形成的矩阵。①脉冲基（积分方程较适合，不能用于微分算子）图2-1脉冲基函数[]1,0=x：Nx1=Δ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Δ−Δ−=−xxxxxxxxPmmm210211fp（2-10）()∑−nnnxxPα经典情况：整域基—分域基②三角形基（可扩展为屋脊基函数）()()⎪⎩⎪⎨⎧Δ−Δ−−−=−xxxxxxxxNxxTmmmmfp01（2-11）()∑−nnxxTnα图2-2三角基函数比脉冲基有所改进，可求一次微分、二次微分。4()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ+−+−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ−−+=⎪⎩⎪⎨⎧Δ≥−Δ−+−−Δ−+=−21210011xxxPNxxxPNxxxxxxNxxxNdxxxdTmmmmmmppp（2-12）()()()()()()()[]mmmmmmxxxxxxNdxxxxdPNdxxxxdPNdxxxTd−−−+−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ+−+−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ−−+=−+−δδδ2121211122（2-13）③分段三角函数基111)1sin(]111[sin)(+≤+−++−−+=NNmxNkNnxNkxJn（2-14）与全域基函数相比，分段基函数适用范围更广泛。三角函数基在段内具有较好的连续性，得到了广泛的应用。④矢量三角（RWG）基函数矢量三角形基函数的定义如下式：frlArinTlArinTotherwisennnnnnnnn()=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪+++−−−220ρρ（2-15）式中各参量的意义见下图:lnTn+Tn−ρn+ρn−图2-3矢量三角形基函数基函数由正、负两个有一条公共边的三角形组成。当源点在正三角形中时，矢径从正三角形顶点指向源点；当源点在负三角形中时，矢径从源点指向负三角形的顶点。源点处的电流大小与矢径成正比，且方向与矢径的方向一致。矢量三角形基函数具有如下特点：51.在基函数的外边界上，即两个三角形的四个外边上，电流没有法向分量，因而在边界上没有线电荷的存在。2.在两个三角形的公共边界nl上，电流的法向分量连续且为常数1。这一点可以从图2-3中看出，ρn的法向分量的大小等于相应三角形的高，乘以系数，正好为1。这也说明，不仅两三角形的外边上没有线电荷，而且在交界的边上也没有线电荷。同时，其法向分量为1，可以使我们认识到基函数对应的电流系数的意义就是通过公共边的法向电流大小。3.矢量三角形基函数的表面电荷密度，正比于表面电流的散度。它在两个三角形内为常数，而且整个三角形上的面电荷总量为0。图2-4矢量三角形基函数公共边上的电流∇⋅=−⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪+−snnnnnflArlAr在正三角形内在负三角形内其他情况0（2-16）这样，对于给定的表面，首先对其进行三角形划分。然后可以用这种矢量三角形基函数进行模拟表面电流:JIfnnnN≅=∑1（2-17）这里，N是矢量三角形基函数的数目。nI是通过该边的法向电流的大小。lT+T−ρ+ρ−2Alnn+2Alnn−6§2.2.矩量法与变分法伽略金法与瑞利-里兹变分法等效，而一般的矩量法也是一种变分方法。利用线性空间的概念来解释矩量法。设()Lfϕ表示L的值域，()nLfϕ表示由nLf张成的空间，()nωϕ表示由nω张成的空间，于是矩量法意味着精确值Lf在()nωϕ上的投影等于近似值nLf在()nωϕ上的投影。由于获得投影的方法使误差化为最小，所以矩量法是一种使误差为最小的方法。而由变分法可以得到与此相同的结论。gLf=泛函J使得J的极值点是gLf=的解。()fJ是关于f的函数。当欧拉方程为gLf=时，相应的泛函J为()aaafLffghfffJ,,,,=，其中hfLaa=。证明：()affJ,的极值点与矩量法的解一致。如果00,aaffff==是J的极值点，即gLf=0，1f，1af为任意函数，α，β为数值，当0→α，0→β1010aaaffffffβα+=+=（2-18）求0f，0af使()()00010,,aaffJfffJfα+或0|00=∂∂→→βααJ（2-19）()()00100,,aaaffJfffJfβ+或0|00=∂∂→→βαβJ（2-20）()[]aaaaafghffLffLffghffLfJ,,,,,,,1112−=∂∂β（2-21）由式（2-20）可得：()[]0,,,,,,,1|0010001020000=−=∂∂→→aaaaafghffLffLffghffLfJβαβ（2-22）由于0,00≠afLf，0,0≠hf，因此0,,,,010001=−aaaafgfLffLffg（2-23）0,,,10000=−aaaffgLffLfg（2-24）因为1af为任意函数，则CggfgfLfLffgLffLfgaaaa==⇒=00000000,,,,（2-25）7其中000,,aafgfLfC=，gLf=0即为方程的解。参考文献1、MatrixmethodsforfieldproblemsHarrington,R.F.;ProceedingsoftheIEEEVolume55,Issue2,Feb.1967Page(s):136-1492．ElectromagneticscatteringbysurfacesofarbitraryshapeRao,S.;Wilton,D.;Glisson,A.;AntennasandPropagation,IEEETransactionson[legacy,pre-1988]Volume30,Issue3,May1982Page(s):409-418