t向量专题训练

1向量专题训练一、向量的线性表示1．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A．AD＝－13AB＋43ACB．AD＝13AB－43ACC．AD＝43AB＋13ACD．AD＝43AB－13AC解析：选AAD＝AC＋CD＝AC＋13BC＝AC＋13(AC－AB)＝43AC－13AB＝－13AB＋43AC，故选A.2．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________(用a，b表示)．解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.答案：b－a－a－b3．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE＝DB＋BE＝12AB＋23BC＝12AB＋23(BA＋AC)＝－16AB＋23AC，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：121．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE＝()A．b－12aB．b＋12aC．a＋12bD．a－12b解析：选ABE＝BA＋AD＋DE＝－a＋b＋12a＝b－12a.1．(2015·嘉兴测试)在△ABC中，已知M是BC中点，设CB＝a，CA＝b，则AM＝()A.12a－bB.12a＋bC．a－12bD．a＋12b解析：选AAM＝AC＋CM＝－CA＋12CB＝－b＋12a，故选A.3．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC＋CB＝0，则向量OC等于()A.23OA－13OBB．－13OA＋23OBC．2OA－OBD．－OA＋2OB解析：选C因为AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，所以2AC＋CB＝2(OC－OA)＋(OB－OC)＝OC－2OA＋OB＝0，所以OC＝2OA－OB.24.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.解析：因为ABCD为平行四边形，所以AB＋AD＝AC＝2AO，已知AB＋AD＝λAO，故λ＝2.答案：25．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.解析：由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM|＝12|BC|＝2.答案：26．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．解析：由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋12b，所以MN＝34(a＋b)－a＋12b＝－14a＋14b.答案：－14a＋14b3.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则()A．x＝23，y＝13B．x＝13，y＝23C．x＝14，y＝34D．x＝34，y＝149.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.解：AD＝12(AB＋AC)＝12a＋12b.AG＝AB＋BG＝AB＋23BE＝AB＋13(BA＋BC)＝23AB＋13(AC－AB)＝13AB＋13AC＝13a＋13b.向量坐标表示1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于()A．－2B.2C．－2或2D．0解析：选C由a∥b，得1×2－m2＝0，所以m2＝2，即m＝±2.2．(教材习题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则3a＋4b＝________.答案：(－6,19)1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝()A．(－7，－4)B．(7,4)3C．(－1,4)D．(1,4)解析：选A法一：设C(x，y)，则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x＝－4，y＝－2，从而BC＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.2．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.答案：－32．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)解析：选AMN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则MN＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以x－5＝－3，y＋6＝6，即x＝2，y＝0.2．(2015·青岛二模)若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则AD＝()A．(－1，－1)B．(3,7)C．(1,1)D．(2,4)解析：选A由题意可得AD＝BC＝AC－AB＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．3．(2015·广东六校联考)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝()A．(－23，－12)B．(23,12)C．(7,0)D．(－7,0)解析：选A由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以23＋x＝0，12＋y＝0，解得x＝－23，y＝－12，所以c＝(－23，－12)．4．(2015·洛阳一模)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量c与向量ka＋b共线，则实数k＝________.解析：ka＋b＝k(1,3)＋(－2,1)＝(k－2,3k＋1)，因为向量c与向量ka＋b共线，所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1.答案：－11．已知在▱ABCD中，AD＝(2,8)，AB＝(－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则AM＝()A.－12，－6B.－12，64C.12，－6D.12，6解析：选B因为在▱ABCD中，有AC＝AB＋AD，AM＝12AC，所以AM＝12(AB＋AD)＝12×(－1,12)＝－12，6，故选B.解析：选A由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋23BA＝OB＋23(OA－OB)＝23OA＋13OB，所以x＝23，y＝13.5．已知平行四边形ABCD中，AD＝(3,7)，AB＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为()A.－12，5B.12，5C.12，－5D.－12，－5解析：选DAC＝AB＋AD＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC＝12AC＝12，5.∴CO＝－12，－5.6．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝________.解析：AQ＝PQ－PA＝(－3,2)，∴AC＝2AQ＝(－6,4)．PC＝PA＋AC＝(－2,7)，∴BC＝3PC＝(－6,21)．答案：(－6,21)平面向量数量积1．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1D．2解析：选C法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.2．(教材习题改编)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角为______．答案：150°3．已知向量a，b都是单位向量，且a·b＝12，则|2a－b|的值为________．5解析：|2a－b|＝2a－b2＝4a2－4a·b＋b2＝4－2＋1＝3.答案：32．(2016·南宁第二次适应性测试)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2且(a＋2b)·(a－b)＝－2，则向量a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ.依题意得a2－2b2＋a·b＝－2,4－8＋4cosθ＝－2，cosθ＝12.又θ∈[0，π]，因此θ＝π3，即向量a与b的夹角为π3.答案：π31．(易错题)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于()A．－72B．－12C.32D.52解析：选Da＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－12，所以a·b＝－1×－12＋2×1＝52.2．已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为()A．－322B．－35C.322D．35解析：选C因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又AB＝(2,1)，所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos〈AB，CD〉＝AB·CD|CD|＝1552＝322.3．(2014·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________.解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝－22＋－62＝210，又|b|＝10，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝210×10×12＝10.答案：104．(2015·天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且BE＝23BC，DF＝16DC，则AE·AF的值为________．解析：取BA，BC为一组基底，则AE＝BE－BA＝23BC－BA，AF＝AB＋BC＋CF＝－BA＋BC＋512BA＝－712BA＋BC，∴AE·AF＝23BC－BA·－712BA＋BC＝712|BA|2－2518BA·BC＋23|BC|2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918.答案：291863．(2015·重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.5π6解析：选C∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，∴2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝2π3.5．(2014·重庆高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－92B．0C．3D.152解析：选C因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.6．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．解析：BC＝AC－AB，由于AP⊥BC，所以AP·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝－λ2AB＋2AC＋(λ－1)AB·AC＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×－12＝0，解得λ＝712.答案：7121．(2016·北师大附中模拟)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－12B．x＝－1C．x＝5D．x＝0解析：选D由向量垂直的充要条件，得2(x－1)＋2＝