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，柳进哈尔滨工业大学电气工程及自动化学院，哈尔滨（150001）E-mail：luluwuwei@gmail.com摘要：通过对电力系统无功优化问题的研究，建立了标准形式的无功优化问题的数学模型，在此基础上，本文以原-对偶路径跟踪法为基本算法对其求解。通过分析在计算过程中影响目标函数取值的约束条件的变化特点，在无功优化计算时引入降阶处理的思想来提高算法的计算速度，从而得到一种新的改进算法。该算法在计算时对所有的约束条件进行判断，剔除符合判别标准的约束条件，从而实现了对系统的降阶处理，减少了约束条件总数，降低了系统的规模，最终提高了算法的计算速度。本文以IEEE118节点系统为例，计算结果表明，在保证计算精度和收敛性的前提下，改进后算法的计算速度有了很大提高。关键词：原-对偶路径跟踪法，无功优化，计算速度，电力系统中图分类号：TM7341．引言所谓无功优化，是指在满足各种状态变量和控制变量的约束条件下，通过调节控制变量，使系统的有功损耗最小[1]。其中状态变量有两类：母线电压、发电机的无功出力，控制变量有三类：变压器抽头、发电机端电压、可投切并联电容器电抗器。无功优化是电力系统重要的研究内容之一，无功不足将导致系统电压降低，用电设备不能充分利用，甚至会引起电压崩溃等一系列事故；而无功过剩也会恶化系统电压，危害系统和设备的安全，而且过多的无功备用又会浪费不必要的投资。因此，无功优化越来越受到人们的重视，近年来人们对此进行了大量研究，并取得了一定的成果。目前，有很多算法用于无功优化计算[2-3]，其中内点法[4-5]是比较具有代表性的一类算法。内点法是在1984年，由Karmarkar提出的线性规划计算的一个新算法。它从初始点出发，沿着“中心线”从可行域内部直接走向最优解。对大规模线性规划问题，当约束条件和变量数目增加时，Karmarkar算法的迭代次数变化较少。该算法不仅从复杂性理论上证明是多项式算法，而且在实际计算中也能与单纯形法相媲美。因此，许多学者对Karmarkar算法进行了广泛而深入的研究。目前，已发展成三类内点算法：投影尺度法、仿射尺度法和原对偶路径跟踪法。本文采用局部线性化[6-8]的方法，建立无功优化问题的标准形式的线型规划模型[9-10]，并采用原对偶路径跟踪法对其求解。在求解过程中，通过分析约束条件，将不起作用的约束条件剔除，从而达到降低系统规模，提高算法计算速度的目的。计算结果表明，改进后算法的计算速度有了很大提高。2．无功优化的数学模型在无功优化问题中，控制变量有三类：变压器抽头BT、发电机端电压GV、可投切并联电容器电抗器CQ；状态变量有两类：母线电压DV、发电机的无功出力GQ；目标函数为系统的有功网损改变量SP∆。无功优化就是在满足状态变量不越限的前提下，通过调节控制变量，使系统的有功网损最小。因此，无功优化的数学描述可表示为如下形式：min()()()SSSSBGCBGCPPPPTVQTVQ∂∂∂∆=∆+∆+∆∂∂∂..DDDBBGCDDDDGGGGGGGGCBGCVVVTTVQVVVVstVQQQQQQQQTVQ∂∂∂⎡⎤∆⎡⎤⎢⎥∂∂∂−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥≤∆≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦∂∂∂⎣⎦(1)minmaxminmaxminmaxBBBBBGGGGGCCCCCTTTTTVVVVVQQQQQ−∆∆−∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−∆≤∆≤−∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−∆∆−∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦作变量代换：1SBSGSCPTPCVPQ⎡⎤∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦1DDDBGCGGGBGCVVVTVQAQQQTVQ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥=⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦BGCTuVQ∆⎡⎤⎢⎥∆=∆⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦maxmaxmax_maxBBGGCCTTXVVQQ−∆⎡⎤⎢⎥=−∆⎢⎥⎢⎥−∆⎣⎦minmin_minDDGGVVBQQ−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦maxmax_maxDDGGVVBQQ−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦minminmin_minBBGGCCTTXVVQQ−∆⎡⎤⎢⎥=−∆⎢⎥⎢⎥−∆⎣⎦则(1)式所表达的无功优化问题的数学模型可以表示如下：1minTSPCu∆=∆1.._min_maxstBAuB≤∆≤(2)_min_maxXuX≤∆≤其中：1C为网损对控制变量的灵敏度，即网损灵敏度1A为状态变量对控制变量的灵敏度，即相对灵敏度u∆为控制变量的改变量_minB为状态变量约束下限；_maxB为状态变量约束上限_minX为控制变量改变量的下限；_maxX为控制变量改变量的上限3.数学原理3.1原对偶路径跟踪法计算原理本文采用原对偶路径跟踪法来求解标准形式的线性规划问题，因此需要将(2)式化为标准形式，其推导过程如下：假设_minzuX∆=∆−，则_minuzX∆=∆+，代入目标函数及约束条件有：1111(_min)_minTTTTSPCuCzXCzCX∆=∆=∆+=∆+1_min(_min)_maxBAzXB≤∆+≤(3)_max_minzXX∆≤−(4)0z∆≥由（3）式及（4）式有：111111111_max_min_max_min_min_min_min_min_max_min_max_minAzBAXABAXAzAXBAzAXBzXXEXX∆≤−−⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥−∆≤−⇒−∆≤−⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥∆≤−−⎭⎣⎦⎣⎦(其中1E为单位阵)⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦121_max_min_min_min_max_minBAXBAXBXX−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，则原非标准形式化为以下形式：11min_minTTSPCzCX∆=∆+22..stAzB∆≤0z∆≥引入松弛变量t,将不等式约束化为等式约束，则有：11min_minTTSPCzCX∆=∆+22..stAztB∆+≤0z∆≥0t≥进一步，可改写为如下形式：11min0_minTTSzPCCXt∆⎡⎤⎡⎤∆=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]222..zstAEBt∆⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0zt∆⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦（其中0为零矩阵，2E为单位阵）假设zxt∆⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10Cc⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]22AAE=，1_minTSPPCX∆=∆−，2bB=，则化为如下标准形式：minTPcx∆=..stAxb=（5）0x≥综上所述，通过变量代换以及引入松弛变量，将非标准形式的无功优化模型转化为了标准形式的线性规划模型。至此，我们总结一下标准形式（5）中相应的系数矩阵的推导过程：（1）对于b矩阵121_max_min_min_min_max_minBAXbBAXBXX−⎡⎤⎢⎥==−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，由于矩阵_maxB、_minB、1A、_maxX、_minX都是已知的，故可以直接求取。（2）对于c矩阵10Cc⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由于1C已知，所以我们需要求出零矩阵的行数，其行数等于松弛变量的个数，而松弛变量的个数等于2B的行数，而2B由（1）步已求出。（3）对于A矩阵[]22AAE=，1211AAAE⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1A已知，关键是求出1E、2E的维数。1E、2E都是公式推导过程中添加的单位阵，因此求出其行数或列数即可。1E的列数与1A的列数相同，在求出1E后，即可得到矩阵2A，而2E的行数与2A的行数相同。至此，1E、2E均可求出。考虑(5)式的对偶问题：..TstAywc+=（6）0w≥根据线性规划互补松弛性质，,,xyw为最优解的充分必要条件为：00TAxbxAxwcwXWeeµ=≥⎧⎪+=≥⎨⎪=⎩(7)(7)式即为松弛的KKT条件。原对偶路径跟踪法在计算时，并不去计算中心路径，而是通过迭代，大致沿着中心路径逼近最优解。设取一点(,,)xyw，其中0x，0w，迭代产生的点(,,)xxyyww+∆+∆+∆位于原对偶中心路径上，即满足：()Axxb+∆=()()TAyywwc+∆++∆=(8)()()xxWWeµ+∆+∆=假设bAxρ−=，TcAywσ−−=，忽略二次项xWe∆∆，(8)式用矩阵可表示为：0000TAxAIyWXweXWeρσµ∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆−⎣⎦⎣⎦⎣⎦(9)求解上述方程，即可得到移动方向(,,)Txyw∆∆∆。由'xxxλ=+∆，'yyyλ=+∆，'wwwλ=+∆，即可得到下一个迭代点(',',')xyw，其中λ为步长参数。沿着此中心路径，即可逐步逼近系统最优点。3.2改进算法的计算原理从无功优化问题中，我们知道，影响算法性能的主要因素是约束条件。随着系统规模越来越大，约束条件数目也就越来越多，算法的计算速度及收敛性就会受到一定的的影响。而在优化过程中，并不是所有的约束条件对目标函数都有很大的影响，影响目标函数取值的约束条件只是很少一部分。因此，算法的改进思路是直接从无功优化问题的约束条件入手，通过在计算过程中，剔除对目标函数影响不大的约束条件，从而降低系统规模，提高算法的计算速度。考虑(2)式中的约束条件矩阵：1_min_maxBAuB≤∆≤假设11_minAuBθ=∆−，21_maxBAuθ=−∆，当第i个约束条件所对应的1()iθ、2()iθ满足下列判别标准时：12()_min()()_max()iBiiBiθλθλ⎧≥∗⎪⎨≥∗⎪⎩(10)可以认为第i个约束条件对目标函数的取值影响不大，从而可以在下一次形成无功优化问题的数学模型时剔除该约束条件，达到降低系统规模的目的。(10)式中的参数λ为小于1的常数，λ越大，判别标准越严格，即约束条件距离其约束上下限越远，因而可剔除的约束条件也就越少。在本文中，λ取值为0.5。在程序计算时，并不需要每次大循环(大循环是指潮流计算，建立无功优化的线性规划，求解后修改控制变量，然后再回到潮流计算。小循环是指内点法求解过程中的反复迭代)后都进行降低系统规模的处理。本文采用的方法是每次大循环计算后，只对约束条件进行判断，当大循环进行到规定的次数后，再进行处理。将那些在前几次大循环计算中，一直都符合判别标准的约束条件剔除。4.IEEE118节点系统仿真结果本文以IEEE118节点系统为例，该系统包括9台可调变压器，53台可调发电机，14个无功补偿点。可调变压器变比上下限为1.10和0.90，无功补偿设备处理上下限为50.0和-50.0，节点电压上下限为1.10和0.90。控制变量的初始步长为：变压器变比和发电机端电压步长为0.02，无功补偿设备出力步长为0.5，并在优化过程中采用了自动减步长技术，以消除锯齿现象。系统共有76个控制变量，系统网损经过无功优化后由原来的143.736MW降为135.870MW。在此基础上，通过减少约束条件，降低系统规模，来提高算法的计算速度。表1给出了约束条件变化情况，表2对比了两种算法的计算时间。统计数A是指在每次大循环迭代过程中，符合判别标准的约束条件数目。统计数B是指从无功优化开始，到当前大循环计算过程中，一直都符合判别标准的约束条件数目。表1原对偶路径跟踪法迭代过程中符合判别标准的约束条件数变化情况大循环迭代次数总约束条件数统计数A统计数B大循环迭代次数总约束条件数统计数A统计数B1234567891711711711711711711711711711321131201131271371241311421329989797676747171101112131415161718171171171171171171171171171137141146144140139148138150717171717171717171从表1可以看出，在求解无功优化的线性规划问题时，在每次大循环迭代过程中，对目标函数起