电动力学课件-5.1-电磁场的矢势和标势

第五章电磁波的辐射前面讨论了电磁波在空间中的传播规律，求解的区域内不存在场源，对于不显含场源的电磁波传播问题，可先直接求解电场，然后由电场计算磁场。1当求解的区域内存在场源，且场源随时间变化，从而激发电磁波，激发后的电磁波脱离场源向外传播并不再返回场源，这种现象称为电磁波的辐射，本章讨论高频交变电流辐射电磁波的规律。变化的场源（电荷电流系统）和其所辐射的电磁场是相互作用的，因此对于显含场源的电磁波的辐射问题，可先求解电磁势，然后由电磁势计算电磁场。与静电场引入电势、静磁场引入矢势相似，为了便于求解普适的场方程，在变化情况下仍然可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为零，这里引入的矢势、标势与静电磁场情况有很大的不同。§5.1电磁场的矢势和标势一．用势描述电磁场真空中的Maxwell方程组为00000BEtEBJtEB0DE0BH电磁性质方程为2由B的无源性引入矢势A0B00000BEtEBJtEB1）对于无源场，总可以用另一个矢量的旋度来表示BA2）矢势A是时间与空间的函数3）矢势A的物理意义：在任一时刻，矢势沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过该回路的磁通量ddLSAlBS由的无旋性引入标势：AEt0BEEt1）一般情况下电场是有源有旋场，电场由电荷和变化的磁场共同激发32）电场不再是保守场，不能用单一的势函数来描写BEt3）电场与磁场有关，因而电场的表达式必然包含矢势ABAEAt0AEt矢量场是无旋场，可引入势函数的负梯度来描述，因此AEtAEt引入标量势函数φAEt这里，仍用φ来表示这个标量势函数，并且右边采用“负号”以便与时间无关时仍回到静电场情形中去，即电场为A4可见，既可以直接用场量和来描述电磁场，也可以用矢势和标势φ一起来描述电磁场，而两种描述方式的等价性的桥梁就是EBABAAEtb)不要把中的标势φ与静电场的电势混为一谈。因为在非稳恒情况下，电场不再是保守力场，不存在势能的概念，这就是说现在的φ，在数值上不等于把单位正电荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把这里的φ称为标势AEt()E5注意：a)当与时间无关，即时,有，这时φ就直接归结为静电场的电势；0AtEABAAEt二．规范变换和规范不变性1．矢势和标势的不唯一性AA()()AAAAB6c)在时变场中，磁场和电场是相互作用着的整体，必须把矢势和标势φ作为一个整体来描述电磁场。A场量、和势φ、之间并不是一一对应的EBA矢势加上一个任意标量函数ψ的梯度，对应同一磁场A但这个任意标量函数ψ的梯度对有影响：E()()AAEAEttttAAt()()()()AEAtttAAEtttt7对标势φ作相应变换，则变换后的和φ对应同一电场AAEtAAAt设ψ为任意的时空标量函数，作如下变换得到新的电磁势，且与描述同一电磁场，即对同一电磁场和，其电磁势的选择并不是唯一的，可通过上述变换式找到无穷组而对应同一电磁场，可根据需要任意挑选,A,AEB,A规范：给定一组，称为一种规范,A2．规范变换规范变换：不同规范之间满足的变换关系：规范不变性：在规范变换下物理量和物理规律满足的动力学方程保持不变的性质注：所有可观测的物理量都具有规范不变性规范场：具有规范不变性的场称为规范场3．两种常用规范8BAAEtAAt要使势函数减少任意性，必须给出，它的值被称为规范条件。值选择是任意的，但若选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。AAa.库仑规范电场中的项对应库仑场，对应感应场E库AtE感9BAEEE纵横0E横0E纵规范条件：0A在库仑规范下是一个有旋无源场（横场），则的纵场部分完全由φ描述，横场部分由描述。AEAAEtb.洛伦兹规范规范条件：21Act洛伦兹规范下是一个有旋有源场，同时势的基本方程可化为特别简单的对称形式。ALudvigLorenz丹麦物理学家(1829--1891)0Jt洛伦兹规范是电荷守恒定律的体现静态场情况下洛伦兹规范转化为库仑规范证明？三、达朗贝尔方程——关于势的基本方程由Maxwell方程且000EBJtBAAEt2000022211AAAJJttctct由矢量分析可得2AAA001c10可得由Maxwell方程可得0E0At20At20At因此22022211AAAJctct(1)(2)上述两方程相互关联，和φ耦合，混杂在同一个方程中，不便求解。A2202222011()AAAJctctAta)采用洛仑兹规范：21Act220222222011AAJctct达朗贝尔方程达朗贝尔方程反映了电磁场的波动性达朗贝尔方程具有高度的对称性且相互独立求出一个解，另一个解就迎任而解，且洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映出电磁相互作用需要时间。在研究辐射问题时，一般都是采用洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。11达朗贝尔方程是非其次波动方程，即有源波动方程，电荷ρ产生标势φ的波动，电流产生矢势的波动，也反映了电磁场的波动性。AJJeanleRondd'Alembert法国物理学家(1717～1783)b)采用库仑规范：2202222011()AAJctct标势φ满足泊松方程，与静电场方程相同，其解为库仑势120A2202222011()AAAJctctAt标势与矢势的方程不对称例：以单色平面电磁波为例，讨论两种规范的特点222222221010ctAAct其解为：()0()0ikxtikxteAAe解：1.如果采用洛伦兹规范条件，当单色平面电磁波在没有电荷、电流分布的自由空间中传播时，势方程变为如下的齐次波动方程：2ckA这表明，只要给定了，就可以确定单色平面电磁波.A13同时由Lorenz规范条件有：21Actitik21ikAic()0()0ikxtikxteAAe对电磁场，有：BAikA00kcAEikiAt2()cikkAiA22()cikkAkA2()cikkA2ckBkkABAA可见电磁场只依赖于矢势的横向分量，即有AAkceBBikAikAAikAkkEceBceikA14表明在平面波情形，即使在洛伦兹规范下，和φ也并不是唯一确定的，即作变换(α为任意常数)，不改变原有电磁场。AAAk要唯一确定，还必须作一些规范，如取只有横向部分，即AA0kA此时的电磁场为：BAikAEikiAiA2.如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变为2222220110AActct当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势φ=0，有20ckA库仑规范条件已经保证了只有横向分量，从而得到电磁场为A15222210AAct其解的形式为()0ikxtAAe由库仑规范条件可知0AikABAikAAAEiAtt与洛伦兹规范的结果一样库仑规范的优点是：它的标势φ描述库仑作用，可直接由电荷分布ρ求出，它的矢势只有横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振，无需再加额外条件，因此在场论中应用较多。A洛仑兹规范的优点是：它的标势φ和矢势构成的势方程具有对称性。它的矢势的纵向部分和标势φ的选择还可以有任意性，即存在多余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变性，因而其应用也相当广泛。AA16作业：查找相关资料，证明洛伦兹规范是电荷守恒定律的体现，即21Act0Jt