偏微分方程的弱解形式

第一讲有限元基本理论元计算技术部本讲给出有限元方法的思想，求解问题的流程，以及采用有限元方法时用到的方程弱形式、形函数等内容，目的在于介绍有限元的基本理论。有限元分析目的和概念有限单元法的基本思想有限元分析的基本流程有限单元法的基本原理偏微分方程的弱解形式插值函数与单元类型有限元分析目的和概念有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息（位移、应变、应力）。从而在准确进行力学分析的基础上，设计师就可以对所设计对象进行强度、刚度等方面的评判，以便对不合理的设计参数进行修改，以得到较优化的设计方案，然后再次进行方案修改后的有限元分析，以进行最后的力学评判和校核，确定出最后的设计方案。有限元方法：是基于“离散逼近”的基本策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原函数，这样就使有限元方法可以针对具有任意复杂几何形状的结构进行分析，并能够得到准确的结果。有限单元法的基本思想有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，而且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。有限单元法作为数值分析方法的另一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数来分片的表示全求解域上待求的未知场函数。单元内近似函数通常由未知场函数或其导数在单元的各个节点的数值和其插值函数来表示。这样以来，一个问题的有限元分析中，未知场函数或其导数在各个节点上的数值就成为新的未知量（也即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。有限元分析的基本流程(1)结构或求解域的离散化。(2)选择适当的插值模式(3)单元分析(4)总体合成。(5)引入约束条件(6)方程求解(7)计算其它参数。有限单元法的基本原理虚位移原理工程或物理中许多问题，通常是以偏微分方程和对应的边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u满足偏微分方程组：,0)()()(21内）（在uAuAuA其中Ω域可以是体积域、面积域等，如图所示。同时未知函数u还应满足边界条件：上）（在0)()()(21uBuBuB(1)(2)由于偏微分方程组(1)在域Ω中每一点为零，因此就有：1122()(()())0TVAudvAuvAud12vVv其中V是向量函数，称为试探函数或虚位移函数，它是一组和偏微分方程个数相等的任意函数。假如A(u)是一光滑函数，可以断言，若积分方程(3)对于任意的V都能成立，则原偏微分方程必然在域内任一点都得到满足。(3)假如A(u)在域内某些点或—部分子域中不满足，即出现A(u)≠0,马上可以找到适当的函数V使(3)的积分形式亦不等于零,可见当A(u)是一光滑函数时，式(3)和(1)是等价的。在很多情况下可以对(3)式进行分部积分得到另一种形式0)()()()(duFvEduDvCTT其中C、D、E、F是微分算子，它们中所包含的未知函数导数的阶数较(3)式的微分算子A底，这样对函数u只需要求较低阶的连续性就可以了，这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限元方法中十分重要。式(3)是偏微分方程组(1)的弱解积分形式或“弱”形式，或称之为虚位移原理。偏微分方程的弱解形式本小节通过一个热传导的稳态问题，来说明将偏微分方程化为其弱解积分形式的一般过程。对于二维直角坐标系，稳态热传导方程如下：内）（在0)(QyukyxukxuA边界条件如下：上）（在上）（在quqnukuuuB00)(00这里u表示温度，k表示热传导系数，u0和q0是边界上温度和热流的给定值，Q是热源密度乘以材料密度。0dQyukyxukx对方程两边乘一标量函数v，并对方程两边进行积分得到：对上式进行分部积分得到：dnukdQdyyukxxuk利用方程的边界条件，上式可变为：dnukdqdQdyyukxxukuq0特别指出对于强制边界条件（即第一类边界条件），这时未知函数在此类边界上的值已确定，可以选取虚位移函数在此类边界上的值为0，则“弱”形式可略去沿此类边界上的边界积分项（)。0qqd对于一般问题推导其微分方程弱形式的步骤如下：•先将偏微分方程化为其积分形式；•利用分部积分公式将其积分形式化为“弱”形式；•利用边界条件将“弱”形式化为更简洁的表达式。插值函数与单元类型关于单元插值函数的形式，有限元方法采用不同阶次幂函数所构成的多项式，因为它们便于运算并且容易满足收敛性。下面结合有限元方法经常使用的Lagrange插值函数讨论一维单元插值函数的具体构造。一维Lagrange单元：对于具有n个节点的一维单元，如果它的节点参数中只含有场函数的节点值，则单元内的场函数可插值表示为：1niiiN其中插值函数Ni(xj)具有下列性质：(),ijijNx1()1,niiNxδij是Kronecker函数。对于n个节点的一维单元，Ni(xj)可采用n-1次Lagrange插值多项式)(1xlni，即令：11,()(),njniijjiijxxNxlxxx如果n=2，函数Φ的插值表示如下：2(1)1(),iiilx其中：212)1(1)(xxxxxl121)1(2)(xxxxxl，为了使计算过程标准化，采用无量纲坐标：111)(22xxxxxxxxxnnnc则上面的表达式可以表示为：nijjjijnil,11)(则对于n=2，有：)1(21)1(1l)1(21)1(2l上面就是一维线性Lagrange单元。对于n=3，有：)1(21)2(1l)1)(1()2(2l)1(21)2(3l上式表示一维二次Lagrange单元。上述无量纲表达式即为今后常用的自然坐标。这样做的目的可使单元的构造标准化，即插值函数和一维单元的尺寸无关，从而大大方便有限元软件的编制和应用。上面给出一维单元插值函数的具体构造，下面类似的给出二维单元插值函数的表达式：对于如下图所示的四节点四边形单元：考虑自然坐标ξ，η两个方向的Lagrange多项式：MJMJKIKIll)()(考虑：1,111004/)1)(1(2121)()(4/)1)(1(2121)()(4/)1)(1(2121)()(4/)1)(1(2121)()(010101104010010113101010012101101001llNllNllNllN对于如下图所示的九节点四边形单元：依照上面的形式，单元插值形函数为：10051022080191162140(1)(1)(1)(1)(1)()()()()2222(1)(1)(1)(1)(1)()()()()2222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()()()()2222(NllNllNllNllNllNllNl2712322(1)(1)(1)(1)(1))()()()2222(1)(1)()()22lNllNll其他单元形函数构造及具体表达式可以参考《有限元分析基础与应用》具体章节。