运用主成分分析对各地区城市的综合经济发展进行评价

运用主成分分析对各地区城市的综合经济发展进行评价学校贺州学院姓名黎于华学号1310515013班级13统计指导老师韦师运用主成分分析对各地区城市的综合经济发展进行评价摘要改革开放以来，随着经济的高速发展，我国经济取得了举世瞩目的较快增长。然而，不同地区之间的水平和支出结构仍存在较大差异。本文通过选取反映城市发展的大部分主要指标，运用主成分分析方法对全国30个大城市进行比较和分析，用以反映出各地区经济综合发展方面存在的差异。通过选取主成分对经济指标的累积贡献率保证在85％以上的变差信息体现在综合评分中，使评价结果真实可靠。关键字：主成分分析；贡献率；经济指标评价1、研究背景近年来全国各大城市都在飞速发展，但是全国各地的发展存在较大差异，各地的人们生活水平直接反映了该地区的经济发展水平。针对这个问题我们找到一组我国大城市的数据，并运用主成分分析法对这些数据进行了分析，以了解各地区的经济发展水平。每个城市的经济发展结构都不同，那我们如何评价各大城市的发展成果呢？全国各地人均消费水平的统计至少应该有两方面的意义。其一，是真实反映各地老百姓的生活水平；其二，了解各地区的经济发展水平，为相关部门制定政策作参考价值。主成分分析是考察多个定量（数值）变量间相关性的一种多元统计方法。它是研究如何通过少数几个主分量（即原始变量线性组合）来解释多变量的方差——协方差结构。具体地说，是导出少数几个主分量，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间不相关。主成分分析常被用来寻找判断某种事物或现象的综合指标，并给综合指标所蕴藏的信息以恰当解释，以便更深刻地解释事物内在的规律。2.模型的建立2.1、主成分分析的基本思想主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。主成分的数学模型一般为假设有n个样本，每个样本测得p项指标（pn）。由于这p项指标之间往往具有相关关系，且每个样本各指标取值的单位和数量大小不同，使我们较难利用这p项指标的信息区别这n个样本。因此，如何从这p项指标中找出少数几个综合指标，使它们尽可能多地反应各项指标的信息，而且彼此之间不相关，这就成为一个重要的问题。怎么解决这个问题，主成分分析给出了最好的方法。主成分分析法是一种数学变换的方法,它把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二变量的方差次大，并且和第一变量不相关，称为第二主成分。依次类推，I个变量就有I个主成分。提取几个主成分或因子，一般有两种方法：一种是特征值1；另一种是累计贡献率0.8。这种方法避免了在综合评分等方法中权重确定的主观性和随意性，评价结果比较符合实际情况；同时，主成份分量表现为原变量的线性组合，如果最后综合指标包括所有分量，则可以得到精确的结果，百分之百地保留原变量提供的变差信息，即使舍弃若干分量，也可以保证将85％以上的变差信息体现在综合评分中，使评价结果真实可靠。是在实际中应用得比较广的一种方法。综上所述，该方法的优点主要体现在两个方面：1.权重确定的客观性；2.评价结果真实可靠。2.2、主成分分析的基本原理假定有n个样本，每个样本共有p个变量，构成一个n×p阶的数据矩阵npnnppxxxxxxxxxX212222111211综合指标如何选取呢？这些综合指标要想尽可能多地反映原指标的信息，综合指标的表达式中要含有原指标，那么我们通常是取原指标的线性组合，适当调整它们的系数，使综合指标间相互独立且代表性好。1、定义：记x1，x2，…，xP为原变量指标，Z1，Ζ2，Ζ3，…，𝑍𝑚（m≤p）为新变量指标pmpmmmppppxlxlxlzxlxlxlzxlxlxlz22112222121212121111............可以看出，新指标对原指标有多个线性组合，新指标对哪个原指标反映的多，哪个少，取决于它的系数。2、计算特征值与特征向量。解特征方程0RI，求出特征值，并使其按大小顺序排列；021p3、计算主成分贡献率及累计贡献率贡献率),,2,1(1pipkki累计贡献率),,2,1(11pipkkikk一般取累计贡献率达85%~95%的特征值m,,,21所对应的第1、第2、…、第m（m≤p）个主成分。4、计算主成分载荷),,2,1,(),(pjiexzplijijiij在主成分之间不相关时，主成分载荷就是主成分zi与变量xj之间的相关系数（在数学上可以证明）。5、各主成分的得分得到各主成分的载荷以后，可以按照计算各主成分的得分pmpmmmppppxlxlxlzxlxlxlzxlxlxlz22112222121212121111............nmnnmmzzzzzzzzzZ212222111211每个地区的综合评价值为：对各个主成分进行加权求和。权重为每个主成分方差的贡献率。3、模型的求解3.1、数据来源定义：x1年末总人口（万人）；x2地区生产总值（当年价格亿元）；x3地方财政预算内收人（万元）；x4地方财政预算内支出（万元）；x5固定资产投资总额（万元）；x6城乡居民储蓄存款年末余额(万元)；x7在岗职工平均工资（元）；x8社会消费品零售总额（万元）；x9普通高等学校在校生人数（人）；x10年末实有公共(汽)电车营运车辆数（万人/辆）;x11剧场、影剧院（万人/个）；x12医院、卫生院（万人/个）表3.1各省大城市和计划单列市主要经济指标(2012年)城市x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12北京1297.4617879.43314934036853076646281342E+0885306.027702816758184417.068730.1526060.468608天津993.212893.91760020121432125887131477055380065398.43392142864731148.4081760.0291990.468184石家庄1005.334500.227227644640932372864583735498638425.99191576153955424.1747490.0218830.392906呼和230.322475.617864472753195130143701243268265637.08102224522271909.8167770.0607850.633901浩特沈阳724.796602.671503777660854564339994318837849898.08280220203692857.2186430.0634670.419432大连590.317002.875010858909590565409654160468054821.15222404832636928.4226930.0101640.367603长春756.94456.634080215555117314027502767382246672.99173964263876626.0443920.0290660.398996哈尔滨993.534550.235471606435756394995923320673241772.95239460014822115.468380.0805210.441859南京638.487201.673301687696569468345004465370063151.73310381996519489.7716450.070480.316376杭州700.52780285998757862800372275446022082356417.812944626645918110.634960.0756580.425398合肥710.534164.338949915720987400110432065574550723.74129361564172075.213010.0295550.669922福州655.274218.338201514107344326648612939460548087.61231982313053865.3153660.0396780.344896厦门190.922817.142290894609779133263851680192652672.94881906214396420.390740.0261890.267128南昌507.873000.524002053455062240323701853567943769.0299509705092397.4841990.0177210.352452青岛769.567302.167018207659801415391463757600749052.31263561802966457.0130980.046780.37424郑州1072.55549.860664887006980366975093845456440471.52228987176981905.172960.0130540.26014武汉821.718003.882858468855477503124884622963048941.72343243459469918.9751860.0742350.28964长660.626399.949064826246207401195642981310050905.25252171185231745.7143290.0151370.384487沙深圳287.6212950.11482080315657078231443198389060059009.584008782475570103.76890.3059590.406787南宁713.52503.222971833765096258518181863802444144.24125559023180473.9018920.0154170.280308海口161.59818.873168711384505103833952147940485.53436263711549610.050130.0556970.420818重庆3343.4411409.61703488530463599938000128472510045392.02403370466701742.2620410.0026920.420226成都1173.38138.978089529838477589009847060031448302.27331766646856398.4292170.0170460.583823贵阳374.531700.324119203493275248255831498202242661.9868318663910716.138360.013350.603423昆明543.483011.137839515255360234591002967023645093.52149379903610008.6130120.012880.434239西安795.984366.139695975974937424343004787030046688.42226386017239619.6673280.0389460.472374兰州321.521563.810373032025976123918091743181144488.4174911573066358.375840.0404330.54429西宁198.46851.154767018532307004806823147444085.583174604618589.4074370.040310.54419银川167.221150.9113132018674469187292901468554274.383160226824