第九章-无穷级数汇总

第九章无穷级数（数一、三）9.1常数项级数的概念与性质9.1.1常数项级数的概念设nu是给定的数列，则表达式nuuuu321称为常数项无穷级数，简称级数，记为1nnu。其中nu称为级数的通项。（1）部分和数列：nnuuus21称为级数的前n项和，ns称为级数的部分和数列。（2）级数1nnu收敛的充要条件是它的部分和数列ns收敛。备注：①若1nnu的部分和数列ns存在极限，且ssnnlim，则1nnu收敛于和s。②“和”相对于级数收敛而言的，发散的级数没有和而言。③21nnnuur称为级数1nnu的余项，且当1nnu收敛时有0limnnr。9.1.2常数项级数的性质（1）设级数1nnu、1nnv分别收敛于常数BA,，对于任意常数,，则级数1)(nnnvu也收敛，且BAvunnn1)(。备注：两收则和差均收，两发则和差不定，一收一发和差必发。（2）任意改变、增加、去掉级数前面有限项不会改变级数的敛散性。（3）在一个收敛级数中任意添加括号得到的新级数仍收敛于原级数的和。备注：①若任意添加括号得到的新级数发散，则原级数必发散。②若任意添加括号得到的新级数收敛，则原级数不一定收敛。（4）若级数1nnu收敛，则0limnnu。（级数收敛的必要条件）备注：①若0limnnu，则级数1nnu发散。②若0limnnu，则级数1nnu的敛散性无法判断。（5）几种特殊级数的敛散性①几何级数：11,100qqqaqannn发散，②调和级数：11nn发散③p级数：1111ppnnp发散，收敛，例1：已知级数1212)(nnnuu发散，则（）（A）1nnu一定收敛（B）1nnu一定发散（C）1nnu不一定收敛（D）0limnnu例2：若级数1nnu与1nnv均发散，则（）（A）1)(nnnvu发散（B）1nnnvu发散（C）1)(nnnvu发散（D）122)(nnnvu发散例3：设有以下命题：①若1nnu收敛，则11000nnu收敛；②若1lim1nnnuu，则1nnu发散；③若1)(nnnvu收敛，则1nnu与1nnv均发散。则以上命题正确的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3例4：判断下列级数的敛散性，若收敛求出其和。（1）级数：)15)(45(11161611nn（2）级数：n001.0001.0001.0001.03（3）级数：n31916131（4）级数：87654321例5：求下列级数的和（1）nnnn312131213121（2）1)2)(1(1nnnn例6：求极限)1()12)(1()1()12)(1(limnbbbnaaan（0ab）9.2正项级数判别法9.2.1正项级数的概念设0nu，则级数1nnu为正项级数。（1）正项级数1nnu的部分和数列ns是单调递增的。（2）正项级数1nnu收敛的充要条件是部分和数列ns有界。9.2.2正项级数的判别法9.2.2.1比较判别法（1）设1nnu与1nnv均为正项级数，且nnvu，则①若1nnv收敛，则1nnu收敛；②若1nnu发散，则1nnv发散。（2）比较判别法的极限形式设1nnu与1nnv均为正项级数，且lvunnnlim，则①当l0时，则1nnu与1nnv具有相同的敛散性。②当0l时，若1nnv收敛，则1nnu收敛。③当l时，若1nnv发散，则1nnu发散。（3）推论：设级数1nnu为正项级数，则①若lnunnlim，0l（或l）时，则1nnu发散。②若1p，且npnunlim存在，则1nnu收敛。备注：①比较判别法的关键是找到一个已知级数与之进行比较，然后利用已知级数的敛散性来判断其敛散性。②正．项级数．．．中等价级数具有相同的敛散性，常常利用等价级数来判断级数的敛散性。9.2.2.2比值判别法设1nnu为正项级数，且nnnuu1lim，则①当1时，级数1nnu收敛；②当)(1时，级数1nnu发散；③当1时，级数1nnu的敛散性无法判断。备注：比值判别法适用于nu与1nu含有公因子，且nnnuu1lim存在或为。9.2.2.3根值判别法设1nnu为正项级数，且nnnulim，则①当1时，级数1nnu收敛；②当)(1时，级数1nnu发散；③当1时，级数1nnu的敛散性无法判断。备注：根值判别法适用于nu含有表达式的n次幂，且nnnulim存在或为。9.2.2.4柯西审敛判别法设)(xf为正的单减函数，若dxxf1)(收敛，则级数1)(nnf收敛，且收敛于dxxf1)(。例7：判断下列级数的敛散性（1）1)3)(2)(1(12nnnnn（2）1)1ln1(nnnn（3）)0(111aann（4）nnn2sin11（5）1222)!(nnn（6）)0,0()(112bacbnann（7）)0(1anankn（8）1354nnnn（9）12113nnnn（10）1213nnnnn（11）12/3)11ln(nn（12）dxxxnn1/1021（13）2212nnn（14）22)2(ln)(lnnnn例8：若12nna及12nnb收敛，证明下列级数也收敛（1）1nnnba（2）12)(nnnba（3）1nnna9.3一般常数项级数9.3.1交错级数（1）定义：若0nu，则级数1)1(nnnu为交错级数。（2）莱布尼茨定理：若交错级数1)1(nnnu满足：①1nnuu；②0limnnu，则1)1(nnnu收敛，且收敛于和1us。备注：①莱布尼茨定理只适用于交错级数的判定。②若交错级数1)1(nnnu满足莱布尼茨定理的条件，用级数的前n项部分和ns作为级数和的近似值，其误差nr的绝对值不超过1nu。9.3.2绝对收敛和条件收敛（1）绝对值级数：级数nnnuuuu211称为1nnu的绝对值级数。（2）绝对收敛：若1nnu收敛，则1nnu绝对收敛。（3）条件收敛：若1nnu发散，而1nnu收敛，则1nnu条件收敛。备注：判断常数项级数的敛散性，如果级数收敛则要具体说明是绝对收敛还是条件收敛，因而级数的敛散性有三种情况：①绝对收敛；②条件收敛；③发散。9.3.3一般常数项级数1nnu判别的步骤：①判断通项nu的极限是否为零No1nnu发散。YES②判断1nnu是否为正项级数YES根值判别法比值判别法比较判别法NO③判断1nnu是否为交错级数YES莱布尼茨定理NO④判断1nnu是否收敛YES1nnu绝对收敛NO⑤判断1nnu是否收敛YES1nnu条件收敛NO1nnu发散例9：判别级数122)sin(nan的敛散性。例10：判断下列级数是绝对收敛，条件收敛还是发散。（1）12)1(sinnnna（2）)0()1(1anannn例11：级数2)ln1sin(nnn是绝对收敛，条件收敛还是发散。9.4幂级数9.4.1函数项级数的一般概念（1）定义：设)(xun是定义在I上的函数列，则表达式)()()(21xuxuxun是定义在I上的函数项级数，记为1)(nnxu=)()()(21xuxuxun，其中)(xun称为通项。（2）部分和：)()()()(21xuxuxuxsnn为1)(nnxu的前n项部分和。（3）收敛域：若Ix0，10)(nnxu收敛，即)(lim0xsnn存在，则0xx是1)(nnxu的收敛点，收敛点的全体称为收敛域。（4）发散域：若Ix0，10)(nnxu发散，即)(lim0xsnn不存在，则0xx是1)(nnxu的发散点，发散点的全体称为发散域。（5）和函数：设函数项级数1)(nnxu的收敛域为D，对于D上的任意一点x都有)()(limxsxsnn，则称)(xs是1)(nnxu在D上的和函数。备注：①和函数是相对于收敛域而言的。②几何级数)11(11120xxxxxxnnn9.4.2幂级数（1）定义：形如nnnnnxaxaxaaxa22100的式子称为幂级数，其中,,10aa称为幂级数的系数。备注：①幂级数0nnnxa的收敛域总是非空的，0x是0nnnxa的收敛点。②对于形如00)(nnnxxa的级数可以通过变量代换0xxt转化为幂级数0nnnta（2）阿贝尔定理：如果00nnnxa收敛，对于0xx的一切x，则0nnnxa绝对收敛；如果00nnnxa发散，对于0xx的一切x，则0nnnxa发散。（3）定理1：如果幂级数0nnnxa既不是在原点一点处收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必确定一个正数R，①当Rx时，幂级数0nnnxa绝对收敛；②当Rx时，幂级数0nnnxa发散；③当Rx时，幂级数0nnnxa有可能收敛也有可能发散。则R为幂级数0nnnxa的收敛半径，),(RR称为收敛区间。备注：①若收敛半径0R，则0nnnxa仅在原点处收敛；若收敛半径R，则0nnnxa在整个数轴上都收敛。②幂级数0nnnxa只有在收敛半径端点处才可能条件收敛。③设幂级数0nnnxa的收敛域为D，则RRDRR,),(。（4）收敛半径的求解方法①不缺项：设幂级数0nnnxa的所有系数na均不为零，且nnnaa1lim，则收敛半径,00,0,1R②缺项：形如02nnnxa与012nnnxa的级数求收敛半径，需要将通项)(xun作为整体用比值法或根值法进行求解，即RxRxuxunnn1)()(lim1或者RxRxunnn1)(lim（5）幂级数的运算设幂级数0nnnxa与0nnnxb的收敛半径分别为21,RR，则①000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa，收敛半径21,minRRR备注：当21RR时，其和的级数的收敛区间可能扩大。②000nnnnnnnnnxcxbxa，收敛半径21,minRRR③000/nnnnnnnnnxcxbxa（nc待定），收敛半径21,minRRR（6）幂级数的性质设幂级数0nnnxa的收敛半径为R，收敛域为I，则①幂级数0nnnxa的和函数)(xs在其收敛域I上连续；②幂级数0nnnxa的和函数)(xs在其收敛域I内可逐项积分，即0100001nnnnxnnxnnnxnadxxadxxa③幂级数0nnnxa的和函数)(xs