简单分式型三角函数最值(值域)问题的求解策略

38福建中学数学2015年第2期简单分式型三角函数最值（值域）问题的求解策略肖笃光江西省吉安市泰和中学（343700）三角函数的最值（值域）问题是每年高考重点考查的知识点之一，它不仅与三角函数自身的常见的基础知识密切相关，而且与代数及一些几何中的有关知识有密切联系．而分式型三角函数的最值（值域）问题却是这类问题的难点，这类考题综合性强，解法灵活，对能力要求较高．本文结合全国各省市历年高考试卷中涉及分式型三角函数最值（值域）问题，归纳其解题策略，以提高同学们的思维能力和解题能力．策略1反求函数和函数有界性相结合例1求函数4sin32sin1xyx的值域．解原函数可变形为3sin24yxy，由sin1x得到：324yy．两边平方并整理，得232270yy，解之得7y，或13y．所以原函数的值域为1(][7)3，，．点评上述解法第一步进行的是用y来表示x，这与求反函数的思路是一致的，进而利用正弦函数的有界性求出y的范围，即为函数的值域．策略2分离常量和部分分式分析相结合例2同例1．解原函数可化为：522sin1yx，由1sin1x得到：32sin11x且2sin10x．当32sin10x时，112sin13x，则552sin13x，从而5122sin13x，即13y；当02sin11x时，112sin1x，则552sin1x，从而5272sin1x，即7y．综上所述，原函数的值域为1(][7)3，，．点评上述解法首先进行的是分离常数变形，所以这种方法有的书上也叫做分离常数法．策略3构造辅助角和函数有界性相结合例3已知π(0)2x，，求函数22sin1sin2xyx的最小值．解原函数可化为：2cos2sin2xyx，去分母得sin2cos22yxx．由辅助角公式可得21sin(2)2yx（令coty），即22sin(2)1xy，由正弦函数的有界性sin(2)1x可得到：221y．两边平方得23y，解之得3y或3y．所以原函数的最小值为min3y．点评形如sincosyab的函数，在研究其性质时，往往借助于三角恒等变形合成某个角的三角函数，其方法是：提取22ab，增设辅助角，逆用和与差的正余弦公式．策略4化归转化和基本不等式相结合例4同例3．解原函数可变为：223sincos2sincosxxyxx，因为π(0)2x，，所以cos0x．上式分子分母同时除以2cosx，可得23tan13tan12tan22tanxxyxx3tan12322tanxx，当且仅当3tan122tanxx，即π6x时等号成立．2015年第2期福建中学数学39所以当π6x时，min3y．点评利用用基本不等式求函数的最值时，要注意等号成立的条件．策略5整体换元和函数单调性相结合例5已知函数1sincossincosyxxxx，(0x，π)2，求y的最小值．解令1sincossin22uxxx，由于π(0)2x，，所以2(0π)x，，则1(0]2u，，故1yuu，1(0]2u，．因为1yuu在上1(0]2u，是减函数，所以当12u时，min15222y．点评解决某些三角函数问题时，引入换元思想会起到一些意想不到的效果．策略6分类讨论和判别式相结合例6求函数22tan2tan2yxx的值域．解原函数可变为：2tan2tan220yxyxy(tan)xR，当0y时，20显然不成立，所以0y；从而由0可得到：244(22)0yyy，即220yy，解得02y．因为0y，所以02y，从而得到原函数的值域为(02]y，．点评运用判别式法求分式型三角函数的值域时，首先要保证自变量取自身的范围；其次去分母变形后所得到二次方程，要讨论二次项系数为零与不为零的情况．策略7“1”的代换和基本不等式相结合例7已知π02x，求函数116()sin1sinfxxx的最小值．解由于sin(1sin)1xx，所以116()[sin(1sin)]()sin1sinfxxxxx1sin16sin17sin1sinxxxx．因为π02x，所以0sin1x且01sin1x，因此1sin16sin()17sin1sinxxfxxx1sin16sin17225sin1sinxxxx，当且仅当1sin16sinsin1sinxxxx，即1sin5x时等号成立．所以当1sin5x时，min()25fx．点评若两个正数的和或积为1时，可把待求问题中的1等价代换成两个正数的和或积的代数式，从而达到运用基本不等式来求函数最值的目的．策略8局部换元和分类讨论相结合例8设1a，a，均为实数，试求当变化时，函数(sin)(4sin)()1sinaf的最小值．解令1sinx，则(02]x，，从而原函数可变为：(1)(3)3(1)2xaxayxaxx，由1a可知3(1)0a，①若03(1)2a，即73a1时，min23(1)2yaa；②若3(1)2a，即73a时，由于3(1)axxxg()=在(02]，上单调递减，所以min3(1)522(1)22ayaa．综上所述min723(1)113()57(1).22aaafaa，，，点评解含字母或参数的数学问题时，通常要对其进行分类讨论．