三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)

一道昆明市统测解三角形题目的思考题目：2015年10月昆明市统测文科：在△ABC中，D是BC的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；理科：在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；常规解法及题根：（15年新课标2理科）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。(Ⅰ)求CBsinsin;(Ⅱ)若AD=1，DC=22求BD和AC的长.（15年新课标2文科）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（I）求sinsinBC；（II）若60BAC,求B.重点结论：角平分线性质：（1）平分角（2）到角两边距离相等（3）线段成比率中点性质与结论：（1）平分线段；（2）向量结论；（3）两个小三角形面积相等。题目解法搜集：解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；解：在△ABC中，222BC=AB+AC-2ABACcosBAC=7，则BC=7；因为AD平分∠BAC，则ABBDACDC，所以BD=374，DC=74；在△ABD中，设AD=x，利用cos∠BAD=cos30°=2222ABADBDABAD即22237343223xx，解得x=933344或。若在△ADC中，设AC=m，则273=12162xx,解得x=33344或。解法评价：好想，但计算较多，且最终无法取舍两根，需要依靠图片的准确性舍弃一个解。解法2（余弦定理灵活使用）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；解：在△ABC中，222BC=AB+AC-2ABACcosBAC=7，则BC=7；因为AD平分∠BAC，则ABBDACDC，所以BD=374，DC=74；（三边求角）在△ABC中，cosB=222AB+BC-AC2ABBC=2223+7-1237=527；在△ABD中，222AD=AB+BD-2ABBDcosB=22237375AD=3+-234427=2716；所以AD=334。解法评价：突出余弦定理两大运用，两边及夹角，利用余弦定理求第三边和三边求角，训练同一个角在不同三角形中求解。解法3（坐标法）：在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；解：把△ABC放到坐标系，A放到坐标原点，AC在X轴上，则C（1,0），B（32，332），其中14DFCDEGCB；所以ＤＥ＝ＤＦ＝338，所以ＡＤ＝２ＤＥ＝334解法评价：在听课好几次听到老师讲坐标法，当然这题坐标作用不大，不多想到把图形摆正之后，解题思路和角平分线到角两边距离就可以使用。解法４（面积法）在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；解：ABCACDABDSSS，由正弦定理的面积公式可得：111sinsinsin222ABACAADACDACADABBAD得11131sin603ADsin301sin30222AD，秒解ＡＤ＝334解法评价：解法学习于昆明数学教师ｑｑ群，相当快速高效。制作此资料希望能够和广大同行分享交流更多数学解题技巧和方法。惊呆我了，后面这种面积法，以后大家有什么得意的速算方法分享下，尽力整理起来留份资料。解法5（向量法）在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；解：由ABBDACDC得BD：DC=3:1，所以1344ADABAC，则22213916816ADABABACAC，227=16AD则ＡＤ＝334。解法评价：此法属于通法，中线和角平分线有类似结论，可以解决一类题型，而且计算中直接使用公式，无需求解复杂方程，实属考试必备方法。方法六（构造法）：在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；解：过B做AC的平行线交AD的延长线于点E，则△ABD为等腰三角形，在等腰△ABD中，AB=EB=3，∠E=∠BAD=30°，解得ＡＥ＝33，ACDEBD,13ADCDACDEBDAB所以AD１＝ＡＥ４，得ＡＤ＝334。解法评价：此法特别巧妙，偏向于喜欢几何证明的学生，特别是喜欢三角形相似，角平分线定理证明的基本思路就和此做法比较相似，此法对于角平分线的题目另辟新径。解法7（正三角形法）在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；解：构造正三角形ABE，过A作BE平行线交BC延长线于Ｈ。为了使用ＡＣ：ＣＥ＝1：2，ACCBEＨ；所以AH=BG=BE2１,所以AD=2１ＡＧ=334。解法评价：此法特别巧妙，尚不知道怎么想到的，好像利用正三角形解题是一种解法，本人对初中几何证明不熟悉了，不知道能不能扩展为通法，求高手解答。解法8（构造等腰三角形）在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；解：过C做AD平行线交BA延长线于点E。在等腰△ACE中（角平分线加平行线必出等腰），AE=AC=1,∠EAC=120°，所以CE=3。ADAB3=CEBE4，AD=334。解法评价：平行线和角平分线还是比较般配的，常常出现等腰三角形，然后利用比率解题速度还是很占优势。未完待续……应该还有很多解法可以分享，本内容整理自昆明数学教师群。高中数学巧妙解法分享交流优秀教学资源经验交流100984603本人qq632920493求分享求关注求交流。嘿嘿……………………