1.3--空间几何体的表面积与体积

本章内容1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图1.3空间几何体的表面积与体积第一章小结1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2球的体积和表面积柱体、锥体、台体1.3.1的表面积与体积返回目录1.棱柱、棱锥、棱台的表面积怎样计算?2.圆柱、圆锥、圆台的表面积怎样计算?3.柱体、锥体、台体的体积怎样计算?4.组合体的体积怎样计算?1.柱体、锥体、台体的表面积问题1.同学们还记得正方体和长方体的表面积怎样求吗?棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么样的平面图形组成?圆柱、圆锥、圆台呢?你能计算它们的表面积吗?棱柱、棱锥、棱台的表面是由底面、侧面的各个多边形组成,各多边形的面积之和即为它们的表面积.1.柱体、锥体、台体的表面积问题1.同学们还记得正方体和长方体的表面积怎样求吗?棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么样的平面图形组成?圆柱、圆锥、圆台呢?你能计算它们的表面积吗?圆柱、圆锥、圆台的表面是由底面圆和侧面组成.将侧面展开成平面,就能求侧面积.例1.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,求它的表面积.SABCD解:这四面体的表面是由4个全等的等边三角形组成,所以它的表面积S=4S△SBC在△SBC中,边长为a,SD为BC边上的高.则SD=22BDSB22)2(aa=,23a=于是得S△SBC=SDBC21aa2321=,432a=所以,这个四面体的表面积为2434aS=.32a=问题2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开成平面后各是什么图形?这些图形的面积你会计算吗?··OOrhS圆柱侧=·OSrlS圆锥侧=S圆台侧=2prh.=prl.=pl(r+r).(变态梯形)︵变态三角形︶cl21OOrr)(21ccl+例2.如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm,为了美化花盆外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(p取3.14,结果精确到1毫升,可用计算器)?解:因为花盆的盆口是空的,所以外观表面积是侧面积加盆底面积,再减去渗水孔的面积.S=S侧+S底S小孔22)25.1()215()]215()220[(15ppp++=≈999.1(cm2)答:大约需要1000毫升油漆.=0.09991(m2),1000.09991100≈999.1(毫升).练习:(课本27页)第1、2题.练习:(补充)如图是一个四棱台,它的下底是一个边长为10cm的正方形,上底是边长为6cm的正方形,侧面是全等的梯形,梯形的高为8cm,求这个棱台的表面积.练习:(补充)如图是一个四棱台,它的下底是一个边长为10cm的正方形,上底是边长为6cm的正方形,侧面是全等的梯形,梯形的高为8cm,求这个棱台的表面积.解:此棱台的表面由上底、下底和侧面的4个梯形组成,它的表面积为:S=S上底+S下底+4S梯形)610(821410622+++==392(cm2),即这个棱台的表面积为392平方厘米.练习:(课本27页)1.已知圆锥的表面积为am2,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面直径.解:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为侧面展开图是一个半圆,所以有2pr=pl,得l=2r,又由表面积得解得,33ppar=则直径2r=,332ppa答:这个圆锥的底面直径是.cm332pparl,2122alr=+pp,)2(2122arr=+pp2.如图是一种机器零件,零件下面是六棱柱(底面是正六边形,侧面是全等的矩形)形,上面是圆柱(尺寸如图,单位:mm)形,电镀这种零件需要用锌,已知每平方米用锌0.11kg,问电镀10000个零件需要锌多少千克?(结果精确到0.01kg)612525解:这个零件的表面积为S=S棱柱表+S圆柱侧2565126)]1224(36[2+++=p≈1579.485(mm2),10000个零件的表面积约为15794850mm2,约合15.795平方米.2.如图是一种机器零件,零件下面是六棱柱(底面是正六边形,侧面是全等的矩形)形,上面是圆柱(尺寸如图,单位:mm)形,电镀这种零件需要用锌,已知每平方米用锌0.11kg,问电镀10000个零件需要锌多少千克?(结果精确到0.01kg)612525解:这个零件的表面积为S=S棱柱表+S圆柱侧2565126)]1224(36[2+++=p≈1579.485(mm2),10000个零件的表面积约为15794850mm2,约合15.795平方米.0.1115.795≈1.737(kg),答:电镀10000个零件约需要锌1.74千克.2.柱体、锥体与台体的体积问题1.还记得正方体、长方体、圆柱和圆锥的体积公式吗?由此类推柱体和锥体的体积公式如何?你想想台体的体积怎样求?柱体体积:V柱=Sh(S为底面面积,h为柱体高).锥体体积:ShV31=锥(S为底面面积,h为柱体高).台体体积:V台=V大锥体V小锥体),(31小大hSSh=S为上底面积,(S为下底面积,,,)(2hhhhhSS==小大大小).(31SSSShV++=台h为台高).例3.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个(p取3.14)?解:每一个螺帽的体积为V=V棱柱V圆柱10510)2412(362+=p≈2956(mm3)=2.956(cm3),7.82.956=23.0568(g)=0.0230568(kg),5.80.0230568≈252(个).答:这堆螺帽大约有252个.习题1.3A组第3题.【练习】3.如图,将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥,求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比.解:设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,abc则长方体的体积为V长方体=abc,三棱锥看成如图的S-ABC,则体积为SABCbacV)21(31=三棱锥,61abc=∴棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为三棱锥长方体三棱锥剩棱锥VVVVV=.51=【课时小结】1.棱柱、棱锥、棱台的表面积各个面多边形的面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的表面积底面积加侧面积.底面积:S底=pr2.圆柱侧面积:S柱侧=2prh.圆锥侧面积:S锥侧=prl.圆台侧面积:S台侧=pl(r+r).【课时小结】柱体体积:V柱=Sh.锥体体积:ShV31=锥台体体积:).(31SSSShV++=台3.柱体、锥体、台体体积习题1.3A组第1、2、4、5、6题.习题1.31.五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分别是8cm和18cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长是13cm,求它的侧面面积.解:所求侧面面积是5个等腰梯形之和,一个梯形的高为8181322)2818(13=h=12,∴S侧=12)188(215+=780(cm2),答:这个五棱台的侧面积是780平方厘米.A组2.已知圆台的上下底面半径分别是r、R,且侧面面积等于两底面积之和,求圆台的母线长.解:由已知得pl(R+r)=p(R2+r2),解得,22rRrRl++=即圆台的母线长为.22rRrR++4.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8,若侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点.当底面ABC水平放置时,液面高为多少?ABCA1B1C1解:如图中盛有水部分是一个四棱柱,其高为AA1=8,底面积是△ABC面积的,43则水的体积为843=ABCSV水=6S△ABC,当底面ABC水平方置时,ABCABChV水=h·S△ABC=6S△ABC,得h=6.答:液面高为6个单位.5.如图是一个烟筒的直观图(单位:cm),它的下部是一个四棱台(上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形)形物体;上部是一个四棱柱(底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形)形物体,为防止雨水的侵蚀,增加美观,需要粘贴瓷砖,需要瓷砖多少平方厘米(结果精确到1cm2)?解:此问题是求棱台和棱柱的侧面积之和.棱台侧面的梯形高为22)24050(10=h,35=∴S=S台侧+S柱侧80404)5040(35214++=≈14359(cm2).(答略)6.我国铁路路基是用碎石铺设的(如图),请你查询北京到上海的铁路长度,并估计所用碎石方数(结果精确到1m3).资料:京沪铁路全长1462km,京沪高铁全长1318km.解:按普铁计算,14620003.0)5.32(21+=V=1260150(m3),答:估计需要1260150方碎石.1.3.2球的体积和表面积返回目录1.球的体积公式是怎样的?是用什么方法得到的?2.球的表面积公式是怎样的?是用什么方法得到的?问题1.球的体积能像柱体和锥体那样求得吗?将一个西瓜切成很薄的一些片,每片可以近似地看作一个什么几何体?由此请你想一想,用什么样的方法求得球的体积?1.球的体积将球体如图切片:抽出其中的一片,这圆片近似于一个圆柱,根据圆柱的体积公式即可求圆片的体积,各圆片的体积之和即为球的体积.已知球的半径为R,取半球(如图).将半球均匀地切成n片,各片体积分别为V1,V2,V3,…,Vn,则V球=2V半球.从下到上第k片的下底半径为22])1[(nRkRrk=,)1(22=knnR每片近似地看成一个圆柱,则第k片的体积为则V球=2(V1+V2+…+Vn).,nR厚度为nRrVkk2p=],)1(1[323nknR=p∴V球=rkR2pR3])1(1)12(1)11(1[323232nnnnnnn+++rkk1片Rrk∴V球=2pR3])1(1)12(1)11(1[323232nnnnnnn+++Rrk])1(2101[2322223nnR++++=p)]12()1(6111[233=nnnnRp],6121311[223nnR+=p当半球切得的片数无限多,,06121,2接近于此时nn各片体积越精确,.34,3RVp=球于是即n无限大时,∴V球=2pR3])1(1)12(1)11(1[323232nnnnnnn+++例(补充).某街心花园有许多钢球(钢的密度是7.9g/cm3).每个钢球重145kg,并且外径等于50cm,试根据以上数据,判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的,请你计算出它的内径(p取3.14,结果精确到1cm).解:按外径求出钢球的体积为3)250(34p=V≈65449.847(cm3),如果是实心球,则球重应为7.965449.847≈517053.791(g)≈517.054(kg)145kg,∴球是空心的.设内径为r,则例(补充).某街心花园有许多钢球(钢的密度是7.9g/cm3).每个钢球重145kg,并且外径等于50cm,试根据以上数据,判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的,请你计算出它的内径(p取3.14,结果精确到1cm).解:按外径求出钢球的体积为3)250(34p=V≈65449.847(cm3),如果是实心球,则球重应为7.965449.847≈517053.791(g)≈517.054(kg)145kg,∴球是空心的.设内径为r,则解得r≈22.4(cm),答:这个球是空心球,它的内径约为44.8cm..000145]34)250(34[9.733=rpp2r≈44.8(cm).已知球O1、球O2、球O3的体积比为1:8:27,求它们的半径比.解:由题意得V1:V2:V3=1:8:27,,27:8:134:34:34333231=RRRppp即得R13:R23:R33=1:8:27,∴R1:R2:R3=1:2:3,即球O1、球O2、球O3的半径之比为1:2:3.练习:(补充)2.球的表面积问题2.在求球的体积时,我们用切片的方法将球分割成很多个近似圆柱