数学建模：深圳人口与医疗需求预测

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学院（请填写完整的全名）：通信与信息工程学院参赛队员(打印并签名)：1.孙雪媛2.郭燕3.霍丙乾日期：2012年5月5日评阅编号(教师评阅时填写)1深圳人口与医疗需求预测摘要本文针对1979-2010年深圳市人口的发展变化规律以及该市医疗卫生的发展变化情况，对2011-2020年的人口进行了预测，着重对2015年和2020年的人口年龄和性别结构进行了预测，同时对2011-2020年深圳市的每万人床位做了预测，之后以小儿肺炎、急性阑尾炎、高血压三种疾病为例，有针对性的对2020年患者对不同类型的医院的床位需求进行了分析。针对问题一中的人口的预测问题，主要采用“灰色模型GM(1,1)”预测户籍人口的走势，采用“线性拟合”的手段对非户籍人口与户籍人口的比值进行了预测，由此得到了深圳市2011-2020年的人口总数的预测结果。在对人口结构的预测过程中，参照“马尔可夫链”模型，并对其进行了一定的合理的简化，构建了“类马尔可夫链模型”，在数据较少的情况下对2015年和2020年人口年龄结构进行了预测。针对问题一床位的需求预测问题，考虑到近年来深圳市的医疗条件一直能与人口的增长较好的适应，因此采用现有床位的数量来反映现有的床位需求，并对床位和人口的比例进行拟合，在人口预测的基础上预测了2011-2020年的床位需求情况。针对问题二，文中构建了概率模型来估算2020年三种疾病的患病人数，分别是“0-4岁群体中的均匀分布模型”、“全年龄区间的正态分布模型”、“全年龄区间的离散型概率分布模型”。医院分为a)将妇幼保健院和儿童医院归为一类，称为Ⅰ类医院；b)人民医院等综合性医院归为一类，称为Ⅱ类医院；c)中医院等医院归为一类，称为Ⅲ类医院。在此基础上分别对三种疾病对各类型医院的床位需求做了预测和分析。关键字：人口预测医疗条件灰色模型线性拟合马尔可夫链概率模型2一、问题重述深圳是我国的经济特区，也是我们人口较为密集的城市之一。从人口的结构上来看，其显著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。深圳流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。为了解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：1.预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势；在此基础上预测未来全市和各区医疗床位需求；2.根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，小儿肺炎、急性阑尾炎、高血压三种情况下在不同类型的医疗机构就医的床位需求。二、符号说明(0)x灰色模型的参考序列(1)x灰色模型一次累加后的序列()k数列的级比(1)()zk灰色模型的均值序列()k灰色模型预测残差()k灰色模型预测的级比偏差i第i年非户籍人口与户籍人口的比值i第i个年龄区间的五年转移比3000510(),(),()XiXiXi2000、2005、2010年第i个年龄区间占总人数的比例和2正态分布的均值和方差三、问题分析针对问题一的人口预测问题，人口分为户籍人口和非户籍人口。户籍人口的增长模型符合普通的人口增长模式，我们采用灰色模型GM（1,1）对其走向进行预测；非户籍人口的增长多受到政策等的影响，因而普通的人口模型偏差较大，因此需要采用拟合的方法作出预测。对于问题一的床位需求预测问题，1979年-2010年的床位总数可以在一定程度上反应床位的需求，但题目中也提到深圳市人口的老龄化开始呈严重化趋势，因此在将来，床位的数量仍然需要在原有基础上与人口数目至少保持同比增加。对于问题三，我们对小儿肺炎、急性阑尾炎、高血压三种病做了分析，这三种病的特点是，小儿肺炎只针对年龄在0-4岁的群体，急性阑尾炎则在各个年龄阶段都有出现，高血压则是多发于老年人群体。我们将通过对这三个问题的解决为深圳市医疗卫生的发展提出合理的建议。四、模型假设（1）、假设附表给的数据都是准确的；（2）、假设未来10年内深圳户籍人口不发生突然的大规模变动；（3）、假设未来10内深圳妇女的生育能力不发生问题；（4）、假设同一地区性别比例不发生变化；（5）、假设同一地区在全市人口中所占比例不发生变化。（6）、假设十年内患者对于医院的取向不发生变化。4五、模型的建立与求解5.1深圳市人口的预测（2011-2020年）5.1.1户籍人口的预测—灰色模型1.灰色模型的概念灰色预测是指利用GM模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的GM(1,1)模型来进行处理。灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。2.数据的检验与处理首先我们对深圳市1979年-2010年的户籍人口数据的作出分析，如图5.1。图5.1深圳市户籍人口1979-2010年我们发现，1979年-2003年人口增长速率基本稳定，从2003年开始速率较之前有一定的增大。在建立灰色模型的过程中，如果把这32年的数据作为初始序列(0)(0)(0)(0)[(1),(2),...,(32)](5.1)xxxx则数列的级比0501001502002503001979198119831985198719891991199319951997199920012003200520072009户籍人口户籍人口单位：万人年份5(0)(0)(1)(),2,3,...,32(5.2)()xkkkxk不能满足全部落入223334(,)ee的范围中，这样我们就得不到一个非常满意的GM（1,1）模型。因此在考虑到1979-2003年的变化趋势基本相同的前提下，我们只采用了1991年-2010年的数据来建立模型。当然这也是有现实意义的，1992年邓小平同志的“南方谈话”将改革开放推向了一个新的阶段，对于深圳人口的影响也有明显的效果。3.建立模型令(0)(0)(0)(0)[(1),(2),...,(20)](5.3)xxxx经过验证，级比数值满足要求。首先，做1次累加（AGO）生成数列(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(0)[(1),(2),...,(20)][(1),(1)(2),...,(19)(20)(5.4)xxxxxxxxx其中，(1)(0)1()()(1,2,...,20)kixkxik。接着求均值数列(1)(1)(1)()0.5()0.5(1),2,3,...,20(5.5)zkxkxkk则有(1)(1)(1)(1)[(2),(3),...,(20)]zzzz。于是建立微分方程为(0)(1)()(),2,3,...,20(5.6)xkazkbk相应的白化微分方程为(1)(1)()(5.7)dxaxtbdt记(1)(1)(0)(0)(0)(1)(2)1(3)1(,),[(2),(3),...,(20)],(20)1TTzzuabYxxxBz，则由最小二乘法，求得使ˆˆˆ()()()TJuYBuYBu达到最小值的1ˆ(,)()TTTuabBBBY。于是求解方程（5.7）6得：(1)(0)(1)((1)),1,2,...,1(5.8)akbbxkxeknaa经过编写MATLAB程序（见附录9.1），我们得到0.0662,69.2185ab4.检验预测值a)残差检验令残差为()k，计算(0)(0)(0)ˆ()()(),1,2,...,20(5.9)()xkxkkkxk如果()k0.2，则可以认为达到一般要求；如果()k0.1，则认为达到较高的要求。经过计算，本模型得到的残差落于[-0.0642,0.0699]之间，达到了较高的要求。具体数据可参见表5.1。表5.1模型的验证年份1992199319941995199619971998199920002001残差0.050.070.070.060.030.030.01-0.02-0.04-0.05级比差值0.020.020.00-0.01-0.02-0.01-0.02-0.02-0.03-0.01年份200220032004200520062007200820092010残差-0.06-0.05-0.030.010.020.030.030.020.00级比差值-0.010.010.020.030.010.010.01-0.01-0.03b)级比偏差检验首先有参考序列依照式（5.2）计算出级比()k，再用发展系数a求出响应的级比偏差10.5()1(),2,2,...,20(5.10)10.5akkka如果()k0.2，则可以认为达到一般要求；如果()k0.1，则认为达到较高的要求。经过计算，本模型得到的级比偏差落于[-0.0277,0.0302]之间，达到了较高的要求。具体数据可参见表5.1。5.模型的使用经过上面的介绍，我们知道这里建立的GM(1,1)模型通过了验证。下面我们给出用该模型预测到的2011-2020年深圳市户籍人口数。7表5.2深圳市2011-2020年户籍人口预测年份2011201220132014201520162017201820192020人口（万人）269.2287.6307.3328.3350.8374.8400.4427.8457.1488.4我们看到，经过预测，深圳市十年后（2020年）的户籍人口为488.4万人。5.1.2非户籍人口的预测—多项式拟合1.拟合的概念曲线拟合问题是，已知一组（二维）数据，即平面上的n个点(,),1,2,...,,iiixyinx互不相同，寻求一个函数（曲线）()yfx，使()fx在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，基本思路是，令1122()()()...()(5.11)mmfxarxarxarx其中()krx是事先选定的一组线性无关的函数，ka是待定系数(1,2,...,,)kmmn。拟合准则是使,1,2,...,iyin与()ifx的距离i的平方和最小，称为最小二乘准则。图5.2深圳市1979-2010年非户籍人口2.数据预处理通过分析非户籍人口的变化我们发现，在最近的十年里，非户籍人口基本保持线性增长，如图5.2，但考虑到深圳市已经出台和即将出台的控制人口的政策，外来人口的数量不可能继续保持线性增长。因此直接用