1.3.2-球的体积与表面积(优质课)

1.3.2球的体积与表面积O343VRS＝4R21.柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么？复习回顾面积体积圆柱S侧＝圆锥S侧＝圆台S侧＝2πrlπrlπ(r1＋r2)l柱、锥、台的侧面积和体积面积体积直棱柱S侧＝正棱锥S侧＝正棱台S侧＝球S球面＝？V=？1、球的体积公式334RV半径是R的球的体积是从球的结构特征可知，球的大小是其半径所确定的。OABCRR半径是的球的表面积：R24SR球的表面积是大圆面积的4倍R2、球的表面积例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)球的体积等于圆柱体积的，(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。分析：由题可得：球内切于圆柱作圆柱的轴截面（如图）证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R。.34,3VR球2322.VRRR圆柱23VV球圆柱24SR球（2），2224SRRR圆柱侧SS球圆柱侧324.若两球体积之比是1:8，则其表面积之比是______.2422:14:11.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.课堂练习5.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是______.3312例2、若正方体的棱长为a，求：⑴正方体的内切球的体积正方体的内切球直径=正方体棱长3314()=326aaVaR2`⑵正方体的外接球的体积A1AC1CO对角面ABCDD1C1B1A1O球的内接正方体的对角线等于球直径。332433()=322aaV23Ra2a⑶与正方体所有棱都相切的球的体积22Ra.32)22(34333aav⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究若正方体的棱长为a，则a1、甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为()A.1:2:3B.C.D.1:2:31:8:27331:4:9A∵球的外切正方体的棱长等于球直径：224=2乙SR正方体的面对角线等于球的直径∵球内切于正方体的棱时球的内接正方体的体对角线等于球直径：234=3SR丙224=甲SR解：设正方体的棱长为a解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。结论（1）长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半222abc（2）设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则对角线长为333233422222164216)3(23)2(RVRSRR且对角线长球的直径等于长方体的长方体内接于球解：2、球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2,求此球体的表面积和体积思考：三棱锥P—ABC的三条侧棱互相垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，则该三棱锥的外接球的半径等于____.一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比为（）(A)2∶5(B)1∶2(C)2∶3(D)4∶9OBA1OAB1OR•用一个平面α去截一个球O，截面是圆面222dRrrdROß•球的截面的性质：–球心和截面圆心的连线垂直于截面–球心到截面的距离为d，球的半径为R，则截面问题截面问题例3.一球的球面面积为256πcm2，过此球的一条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面积.1.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π,则球的体积为()【解析】选C.设球的半径为R，则截面圆的半径为所以截面圆的面积球的体积故选C.88232A.82C.D.333B.2R1,222S(R1)(R1)3482V=R=332R2R2C2.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积.CBAOO'解:设截面圆心为O',连结OA,设球半径为R.则:23232323OARtOOA在中，222OAOAOO222231()34RR43R26449SR例4、在球内有相距1cm的两个平行截面，截面面积分别是5πcm2和8πcm2，球心不在截面之间，求球的表面积.思路点拨：由截面面积可求出截面圆的半径，两截面相距1cm，可求出球的半径，可先画出图形，再把问题平面化.OB1C2C1A2A1B2B1A2A2B1B1C2CO1212CCrr令上下两个截面圆的圆心分别为、，半径分别为、222211225588rrrr由得，由得22211112222222,5,8RtOCAOCRrRRtOCAOCRrR在中在中22122,581OCOCRR2225818=1RRR即，两边平方得22=9=4=36RSR球解得，1A2A2B1B1C2C思考题在球内有相距2cm的两个平行截面，截面面积分别是5πcm2和8πcm2，球心在截面之间，求球的表面积.O1C2C1A2A2A1A2C1CO1212CCrr令上下两个截面圆的圆心分别为、，半径分别为、222211225588rrrr由得，由得22211112222222,5,8RtOCAOCRrRRtOCAOCRrR在中在中22121,582OCOCRR22215288=4RRR即，两边平方得2129=16R解得，2A1A2C1CO2129=4=4SR球COASB1O例5、求棱长为1的正四面体外接球的体积1OO解：设底面正ABC的中心为，正四面体的外接球的球心为11OOOCOC球心为在高S上，连接，133=,33OCAC则221163SOSCOC1116,,3RtOOCOOSORROCR中22263+=33RR由勾股定理得（）（）66==48RV球解得，22DABC1D1C1B1A1解法2：如图,将正四面体放置在棱长为的正方体中，则A1、C1、B、D是棱长为1的正四面体的顶点。所以正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为2262334466=R=()3348V球求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径探究我们可以利用正方体解决正四面体的外接球的的问题。问题：如果一个正四面体的各棱都与一个球相切，那么是否也可以借助正方体来解决？即正四面体的外接球即为正方体的外接球。DABC1D1C1B1A11BACDOO观察正四面体，若球与其各棱都相切，那么球与正方体是什么关系？与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球结论:(1)正四面体的外接球即为正方体的外接球，(2)与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，此两球的球心都在正方体的中心，在正四面体的高的一个靠近面的四等分点上例6、若正四面体的棱长都为6，内有一球与四个面都相切，求球的表面积EO1PODCBA246Sr球故RtPEO∽1RtPOD由1,rPODOPD得122113,3326,26,632336DOPDPOPDDOPOraaa，解：作出过一条侧棱PC和高PO的截面，则截面三角形PDC的边PD是斜高，DC是斜高的射影，球被截成的大圆与DP、DC相切，连结EO，设球半径为r，6,2r解得解法2：连结OA、OB、OC、OP，那么EO1PODCBA4PABCOPABOPBCOPCAOABCOABCVVVVVV11,3PABCABCVSPO因11,3OABCABCVSOO14Or所以P1626,.2Or易求P所以246Sr球故探究我们可以利用正方体解决正四面体的外接球及和正四面体的各棱都相切的球的问题。一个正四面体的各棱都与一个球相切，则该球就是正方体的内切球即正四面体的外接球即为正方体的外接球。DABC1D1C1B1A正四面体的内切球能否利用正方体解决？2,,2aa将棱长为的正四面体放置在正方体中则正方体的棱长为即正四面体的外接球即为正方体的外接64Ra则正四面体的外接球即正方体的外接球的半径为612a则正四面体的内切球的半径为1663(,)123362arrPOrraDOPDaa13故正四面体的内切球的半径是其外接球的半径的，且它们有共同的球心即为正方体的中心解题（1）正四面体的外接球即正方体的外接球，正四面体的内切球，与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，这三个球的球心都在正方体的中心，又是正四面体的高的一个靠近面的四等分点6344Ra则正四面体的外接球的半径为（即高的）63,aa(2)设正四面体的棱长为则其高为61124a则正四面体的内切球的半径为（即高的）与正四面体各棱都相切的球的半径为24a1、正三棱锥的高为1，底面边长为,求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。解：过侧棱AB与球心O作截面(如图),AE切圆O于F在正三棱锥中，BE是正△BCD的高，O1是正△BCD的中心，且AE为斜高设内切球半径为r，则OA=1－r1O1ABEOCDF正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一球面上，其该球的体积2课外探究DACBSOCASDB1OOV34球V解:设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为O，如图所示.由球的截面的性质，可得球心O必在所在的直线上.∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.连接OC1O111221,1,1,1(1)1RtOOCOCOOSORROCRRRROO在中，解得，与重合CASDB1OO