电路原理之电容元件与电感元件

第五章电容元件与电感元件元件的伏安关系涉及对电流、电压的微分或积分，则称这种元件为动态元件（dynamic包含动态元件的电路称为动态电路。element）如电容、电感。海南师范大学返回目录5.1电容元件5.2电感元件5.3一阶线性常系数微分方程的求解5.4二阶线性常系数微分方程的求解5.5例题5.5例题5.1电容元件5.1.1（理想）电容元件的定义5.1.2电容元件的伏安特性5.1.3电容元件的储能5.1.4电容电压的连续性和记忆性5.1.5电容元件的串、并联5.1.6电容器的参数和电路模型电容器：把两块金属板用介质隔开就构成了一个简单的电容器。电容器是一种存贮电荷的器件（因为介质不导电，所以极板上的电荷不会中和，能长久地存贮下5.1.1（理想）电容元件的定义所以极板上的电荷不会中和，能长久地存贮下去）（存贮电场能量)理想电容器：只存贮电荷从而在电容器中建立电场，而没有其他的作用。即：理想电容器应该是一种电荷与电压相约束的器件。电容元件的定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电荷q(t)同它的端电压u(t)之间的关系可以用u-q平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电容元件。电容元件的符号（采用关联）：i（t）+q-q+-U（t）()()tCutq=如果u-q平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，且不随时间而变，则此电容称线性时不变电容：其中：q—电荷，单位：库仑（c）u—电压，单位：伏特（v）C—电容（正常数），单位：法拉（F）5.1.2电容元件的伏安特性*若u与i取关联参考方向，有tduCCudtdqti)()()()(===i(t)+-u(t)+CdtCdtdtti)(===∫+=ttdiCtutu0)(1)()(0xx其中t0为初始时刻，u(t0)为初始电压。*若u与i取非关联参考方向，则dttduCdttdqti)()()(-=-=*即：某时刻电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率；电压有变化，才有电流；具有隔直作用，在直流电路中，电容可视开路。5.1.3电容元件的储能关联参考方向下，i(t)+-u(t)CdttduCtutitutp)()()()()(==电容吸收的电功率为：从t0时刻到目前时刻t，电容吸收的电能（即电场能量的增量）为：∫∫==)()(000)(],[tututtCduuCdpttwxx[])()(21022tutuC-=)(21)(2tuCtwC=若取尚未充电时刻为初始时刻，可得t时刻电容的储能为：2例：已知电容两端电压波形如图所示，求电容的电流、功率及储能。i(t)+-u(t)1μFt(ms)0.513579wC(μJ)解：dttudCti)()(=)()()(tutitp=)0()()(twdptw+=∫xx或)0()()(0CtCwdptw+=∫xx)(21)(2tuCtwC=5.1.4电容的特点*电压有变化，才有电流。i(t)+-u(t)CdttduCti)()(=*具有隔直流作用，在直流稳态电路中，电容8Ω10V2ΩC8Ω10V2Ω*具有隔直流作用，在直流稳态电路中，电容可视作开路。*电容电压具有连续性：若电容电流i(t)在闭区间［ta,tb］内为有界的，则电容电压uc(t)在开区间（ta,tb）内为连续的。特别是，对tattb,有uc(t-)=uc(t+)换路定理*电容可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为)(21)(2tuCtwC=uc(t-)=uc(t+)换路定理*电容电压具有记忆性：∫+=ttdiCtutu0)(1)()(0xx)(1tuU+=即：一个已充电的电容可等效为一个电压源串联一个未充电的电容。电压源的值为t0时电容两端的电压U。5.1.5电容元件的串、并联*串联n个电容相串联的电路，各电容的端电流为同一电流i。+i+iC1C2CnCeq+-u+un+-+-+-u-u1u2由KVL，端口电压nuuuu+++=L21⎞⎛1111∫∫∫∞-∞-∞-===ttnntidCuidCuidCuxxx1,......,1,12211根据电容的伏安关系，有Ceq可称为n个电容串联的等效电容。式中∑==+++=nkkneqCCCCC12111...111∫∫∞-∞-=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++=teqtnidCidCCCxx111121L*并联n个电容相并联的电路，各电容的端电压是同一电压u。+iiii+iC1C2Cn+-ui1i2inCeq+-u由KCL，端口电流duCduCCCiiii=+++=+++=)...(...dtduCidtduCidtduCinn===,...,,2211根据电容的伏安关系，有Ceq为n个电容并联的等效电容。dtCdtCCCiiiieqnn=+++=+++=)...(...2121式中∑==+++=nkkneqCCCCC121...例:如图所示电路，各个电容器的初始电压均为零，给定试求ab间的等值电容CFCFCFCFC4,3,2,14321====解：FCCCFCCCCC1132322121212112=+=+=′=+×=+=C4C1C3C2abFCCC3113323123=+=+=′FCCCCCab913.1311431143434=+×=′+′=ab间等值电容为5.1.6电容器的参数和电路模型电容器的两个主要参数：电容，额定电压。电容器的电路模型：CCGCGL5.2电感元件5.2.1（理想）电感元件的定义5.2.2电感元件的伏安特性5.2.3电感元件的储能5.2.4电感元件的特点5.2.5电感元件的串、并联5.2.6电感线圈的参数和电路模型5.2.1（理想）电感元件的定义电感元件的定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电流i(t)同它的磁链ψ(t)之间的关系可以用i-ψ平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感电感元件的符号元件。（取i(t)与ψ(t)的参考方向符合右手螺旋则。）i(t)+-)(tuψ(t)电感元件的定义式：0))(),((=ttify)()(tiLt=y其中：y－磁通链，单位：韦伯（Wb）（线性时不变）电感元件的定义式：其中：y－磁通链，单位：韦伯（Wb）i－电流，单位：安培（A）L－电感（正常数），单位：亨利（H）5.2.2电感元件的伏安特性*若u与i取关联参考方向，根据电磁感应定律，有u(t)i(t)+-LtidLiLdtdtu)()()()(===ydtLdtdttu)(===∫+=ttduLtiti0)(1)()(0xx其中t0为初始时刻，i(t0)为初始电流。*若u与i取非关联参考方向，则dttidLdttdtu)()()(-=-=y5.2.3电感元件的储能关联参考方向下，电感吸收的电功率为：u(t)i(t)+-Lu(t)+-dttidLtitutitp)()()()()(==从t0时刻到目前时刻t，电感吸收的电能（即磁场能量的增量）为：∫∫==)()(000)(],[titittLdiiLdpttwxx[])()(21022titiL-=[]20若取尚未建立磁场时刻为初始时刻，可得t时刻电感的储能为：)(21)(2tiLtwL=例：已知电感两端电压波形如图所示，i(0)=0，求电感的电流及功率。u(t)i(t)+-1mH解：其中t0为初始时刻，i(t0)为初始电流。∫+=tduLiti0)(1)0()(xx)()()(tutitp=解：分段积分求表达式。⎧mst101⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=mstmsmstmsmstmsmstmsmsttu871750531310101)(mstmsAtditimstmsAditimstAtditittt53104110)103()(311010)10()(1010110)0()(33310333033≤-=-+×=≤=+=≤=+=∫∫∫---xxxmstmsAtditimstmsAditimstmsAtditittt87108110)107()(751010)105()(53104110)103()(31073310533310333333≤+-=+×=≤-=+×=≤-=-+×=∫∫∫---×-×-×-xxx5.2.4电感元件的特点*电流有变化，才有电压。u(t)i(t)+-LdttidLtu)()(=8Ω10V2ΩL6Ω8Ω10V2Ω6Ω*在直流稳态电路中，电感可视作短路。*电感电流具连续性：若电感电压u(t)在闭区间［ta,tb］内为有界的，则电感电流iL(t)在开区间（ta,tb）内为连续的。特别是，对任意的tattb,有iL(t-)=iL(t+)换路定理*电感可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为)(21)(2tiLtwL=∫+=ttduLtiti0)(1)()(0xx*电感电流具有记忆性：)(1tiI+=即：一个具有初始电流的电感，i（t）=I；可等效为即：一个具有初始电流的电感，i（t0）=I；可等效为一个电流源并联一个初始电流为0的电感。电流源的值为t0时电感的电流I。5.2.5电感元件的串、并联*串联n个电感相串联的电路，流过各电感的电流为同一电流i。根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2,3,…,n)电感∑==nkkeqLL1dtdiLukk=根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2,3,…,n)电感的端电压和KVL，可求得n个电感相串联的等效电感+un+-i+-+-u-u1u2L1L2LnLeq+-iu*并联nn个电感相并联的电路，各电感的端电压是同一电压u。根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2,3,…,n)电感的电流和KCL，可求∫∞-=tkkudLix1得n个电感相并联时的等效电感LeqLeq的倒数表示式为∑==nkkeqLL111iii+iLnL2L1+-ui1i2Leq+-u例：如图所示电路，给定()()AiAiHLHLHL30,20,3,2,132321=====--试确定其最简单的等值电路。解：在t=0-，应用KCL于A点，得L1中的初始电流为AL1L3L2i1i2i3LL23中的初始电流为HLLLHLLLLL2.22.112.13232231323223=+=+==+×=+×=图中()()()Aiii532000321=+=+=---5.2.6电感线圈的参数和电路模型电感器iψ（磁通链）电感器的电路模型：电感器的两个主要参数：电感，额定电流。LLRLRC电感器的电路模型：5.3动态电路导论包含至少一个动态元件（电容或电感）的电路为动态电路。含有一个独立的动态元件为一阶电路。（电路方程为一阶常系数微分方程）动态电路（只讨论线性非时变动态电路）方程为一阶常系数微分方程）含有二个独立的动态元件为二阶电路。（电路方程为二阶常系数微分方程）含有三个或三个以上独立的动态元件为高阶电路。（电路方程为高阶常系数微分方程）换路、暂态与稳态的概念ucUSRC(t=0)(t=t1)+-uctt1US稳态暂态暂态换路：电路结构或参数发生突然变化。稳态：电路微分方程解中的暂态分量已衰减到零。有两类稳态电路：直流稳态电路：电路中电流电压均为恒定量。正弦稳态电路：电路中电流电压均为正弦交流量。暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态的过渡过程。过渡过程产生的原因：外因─换路；内因─有储能元件。外因─换路；内因─有储能元件。5.4动态电路的初始状态与初始条件t0+和t0-若电路在t0时刻换路，则t0-为换路前的一瞬间，t0+为换路后最初的一瞬间（称为换路后的初始时刻）。原始状态电容电压和电感电流为电路的状态变量。t0-时刻的电容电压和电感电流值为电路的原始状态，它们反映了换路前电路所储存的能量。t0+时刻的电容电压和电感电流值为电路的初始状态。初始状态初始条件求解电路微分方程所需t0+时刻各电流电压值。电路的换路定则)()(,)()(0000-+-+==tqtqtutuCCCC电容的换路定则若换路瞬间电容电流ic为有限值，则证：由于有限电流ic在无穷小区间内的积零，因此)()(1)()(00000--+=+=∫+-tudiCtutuCttCCxx电感的换路定则若换路瞬间电感电压uL为有限值，则)()(,)()(000