三角函数章末复习-课件(ppt)

章末复习一．三角函数的概念①理解任意角的概念和弧度的意义，能正确进行弧度与角度的换算．②掌握任意角α的正弦、余弦和正切的定义，三角函数值在各个象限的符号.二．诱导公式利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．知道诱导公式作用：负化正，大化小，小化锐，再求值。通过这些公式进行化简、求值.三．常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)2[规律方法]1．研究三角函数的图象性质、关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝2π|ω|.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为T＝π|ω|；y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝π|ω|.23.三角函数的常用结论(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得。(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得。(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数。34．三角函数的两种常见变换四.三角函数的图像与性质的应用(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．题型一终边相同的角及象限角例1(1)若角α满足α＝2kπ3＋π6(k∈Z)，则α的终边一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上[解析](1)由α＝2kπ3＋π6，k∈Z，当k＝0时，α＝π6，终边在第一象限．当k＝1时，α＝2π3＋π6＝5π6，终边在第二象限．当k＝－1(与k=2一类)时，α＝－2π3＋π6＝－π2，终边在y轴的非正半轴上，故选D.1例1（2）若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角方法1因为α是第二象限角方法2画平面直角坐标系所以π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．【答案】C题型二任意角的三角函数的定义例2求函数y＝sinx＋cosx－12的定义域．解由题意知sinx≥0，cosx－12≥0，即sinx≥0，cosx≥12，如图，结合三角函数线知：2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3k∈Z，解得2kπ≤x≤2kπ＋π3(k∈Z)，∴函数的定义域为x|2kπ≤x≤2kπ＋π3，k∈Z.题型三诱导公式例3.已知f(α)＝sinα－3πcos2π－αsin－α＋32πcos－π－αsin－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cosα－32π＝15，求f(α)的值．解(1)f(α)＝sinα－3πcos2π－αsin－α＋32πcos－π－αsin－π－α=－sinαcosα·－cosα－cosαsinα＝－cosα.(2)∵cosα－32π＝cos－2π＋π2＋α＝cosπ2＋α＝－sinα＝15，∴sinα＝－15，又α是第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－125＝－265，∴f(α)＝－cosα＝265.题型四三角函数的图像例4知图求式函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0,0≤φ2π)的部分图象如图所示，则f(2019)的值为________。3解析由题意可知T4＝52－1＝32，得T＝6，又知T＝2π|ω|，ω0，所以ω＝π3。所以f(x)＝Asinπ3x＋φ。又因为f(1)＝A，所以Asinπ3＋φ＝A，即sinπ3＋φ＝1。因为0≤φ2π，所以φ＝π6。所以f(x)＝Asinπ3x＋π6。又知f0＝1，所以Asinπ6＝1，得A＝2，所以f(x)＝2sinπ3x＋π6。所以f(2019)＝2sin20193π＋π6＝2sin673π＋π6＝2sin336×2π＋π＋π6＝2sinπ＋π6＝－2sinπ6＝－1。答案－1例5.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图．(1)求f(x)的解析式．(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？解(1)A＝3，2πω＝434π－π4＝5π，又|φ|＜π2，故ω＝25.由f(x)＝3sin25x＋φ过π4，0得sinπ10＋φ＝0.又|φ|＜π2，故φ＝－π10，故f(x)＝3sin25x－π10.(2)由f(x＋m)＝3sin25x＋m－π10＝3sin25x＋25m－π10为偶函数(m＞0)，知2m5－π10＝kπ＋π2，即m＝52kπ＋3π2.∵m＞0，∴mmin＝3π2.故至少把f(x)的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．1例6.为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将y＝cos2x－π6的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度解析y＝cos2x－π6＝sin2x＋π3，将函数y＝sin2x＋π3的图象向右平移π6个单位长度后得到函数y＝sin2x的图象，故选A。答案A题型五三角函数有关的最值例7.函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________。解析f(x)＝sin2x＋3cosx－34＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cosx－322＋1，cosx∈[0,1]，当cosx＝32时，f(x)取得最大值1。答案1求三角函数最值的基本思路：①将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解;②将问题化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，结合三角函数的性质或图象求解；③几何法例8.已知a＞0，函数f(x)＝－2asin2x＋π6＋2a＋b，当x∈0，π2时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝fx＋π2且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．解(1)∵x∈0，π2，∴2x＋π6∈π6，7π6.∴sin2x＋π6∈－12，1，∴－2asin2x＋π6∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin2x＋π6－1，g(x)＝fx＋π2＝－4sin2x＋7π6－1＝4sin2x＋π6－1，又由lgg(x)＞0得g(x)＞1，∴4sin2x＋π6－1＞1，∴sin2x＋π6＞12，∴2kπ＋π6＜2x＋π6＜2kπ＋5π6，k∈Z，其中当2kπ＋π6＜2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋π6，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为kπ，kπ＋π6，k∈Z.又∵当2kπ＋π2＜2x＋π6＜2kπ＋5π6，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋π6＜x＜kπ＋π3，k∈Z.∴g(x)的单调减区间为kπ＋π6，kπ＋π3，k∈Z.几何法例9.函数y＝2－sinx3＋cosx的最小值为________，最大值为________．解如图所示，y＝2－sinx3＋cosx可看做定点A(3,2)与动点B(－cosx，sinx)连线的斜率，而动点(－cosx，sinx)是单位圆上点，故问题转化为定点与单位圆上点B连线的斜率的最值问题．根据数形结合不难得知，当连线与圆相切时，斜率取最值，解得ymin＝3－34，ymax＝3＋34.9例10.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，π8上的最小值．1解：(1)设函数f(x)的最小正周期为T，由图象知A＝1，T2＝2π3－π6＝π2，则T＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，故f(x)＝sin(2x＋φ)．由0＝sin2×π6＋φ，可得π3＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－π3，k∈Z，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin2x－π3.1(2)根据条件得g(x)＝sin4x＋π3，当x∈0，π8时，4x＋π3∈π3，5π6，所以当x＝π8时，g(x)取得最小值，且g(x)min＝12.题型六函数图像例11．函数f(x)＝2x－tanx在－π2，π2上的图象大致为()答案C强化训练1．将函数y＝sin2x－π4的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数在区间[－m，m]上单调递增，则m的最大值为()A．π8B．π4C．3π8D．π2解析函数y＝sin2x－π4的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin2x＋π4－π4＝cos2x－π4，由－π＋2kπ≤2x－π4≤2kπ(k∈Z)，得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，所以当k＝0时函数的一个单调递增区间是－3π8，π8，所以m的最大值为π8。故选A。答案A22.已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是()A．2B．1C.12D．3[解析]设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝12rl＝12r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.从而α＝lr＝21＝2.[答案]A13.已知α是第二象限的角，其终边的一点为P(x，5)，且cosα＝24x，则tanα＝()A.155B.153C．－155D．－153【解析】因为α是第二象限的角，其终边上的一点为P(x，5)，且cosα＝24x，所以x＜0，cosα＝xx2＋5＝24x，解得x＝－3，所以tanα＝5－3＝－153.【答案】D14.已知ω＞0，函数f(x)＝cosωx＋π4在π2，π上单调递增，则ω的取值范围是()A.12，54B．12，74C.34，94D．32，74解函数y＝cosx的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则ωπ2＋π4≥－π＋2kπ，k∈Z，ωπ＋π4≤2kπ，k∈Z，解得4k－52≤ω≤2k－14，k∈Z，又由4k－52－2k－14≤0，k∈Z且2k－14＞0，k∈Z，得k＝1，所以ω∈32，74.[答案]D35．若函数f(x)＝sinωx＋π6(0ω1)在区间(π，2π)内有最值，则ω的取值范围为________。解析函数f(x)＝sinωx＋π6(0ω1)取最值时，ωx＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，即x＝1ωkπ＋π3(k∈Z)，因为f(x)在区间(π，2π)内有最值，所以1ωkπ＋π3∈(π，2π)时，k有解，所以11ω·k＋132，即ωk＋13，k2＋16ω⇒k2＋16ωk＋1