第五章-线性系统的频域分析法

第五章线性系统的频域分析法5-1频率特性5-2典型环节与开环系统频率特性5-3频率稳定判据5-4频率稳定裕度5-5闭环系统的频率性能指标概述频率法是在频域里对系统进行分析和设计的一种方法，主要采用图解法。可以根据系统的开环频率特性判断闭环系统的稳定性，而不必求解特征方程。容易研究系统的结构和参数变化对系统性能的影响，并可指出改善系统性能的途径,便于对系统进行校正。提供了一种通过实验建立元件或系统数学模型的方法。系统模型间的关系一.频率特性的基本概念一个稳定的线性定常系统或环节,当系统输入为正弦信号时系统稳态输出为同频率的正弦信号。振幅与相角不一定相同，即，并且均为频率w的函数，即。1212,AAr(t)C(t))sin(11tA)sin(22tA系统数学模型)sin(11tAtr)sin(22tAtc22,A22,A5-1频率特性两个信号的振幅之比定义为系统的幅频特性，两个信号的相位之差定义为系统的相频特性。两者合称为系统的频率特性。幅频特性相频特性频率特性12)()(12)()(AAA)()()(jeAjG)()(AjG|)(|)(jGA)()(jG如何求系统的频率特性？频率特性表示了稳定系统在正弦信号输入下，其稳态输出与输入之间的关系。利用频率特性可以很容易求得稳定系统在正弦信号输入下的稳态输出，即1212)(,)(AAA在系统的传递函数G(s)中，用jw代替s即得系统频率特性G(jw)，其模值为幅频特性，其幅角为相频特。)(A)(频率特性的物理意义及求解方法RC网络微分方程：RC网络传递函数:频率特性：幅频特性：相频特性：RucurCrcCuudtduRC11RCssususGrC112TjGAarctanGjRC1111TjRCjjG45.0)(wA)(ww000T2/1T/1T/5T/3T/4T/2189.0707.032.024.020.06.26455.635.71767.7890045-0.707A(w)01/T2/T3/T4/T）（w0901ww当频率较低时,输出电压和输入电压的幅值几乎相等,相角差不大,随着频率增高,输出电压的幅值减小,相角迟后增大,当w=1/T时,输出幅值为输入幅值的0.707倍,相角落后45度。当w→∞时,网络输出电压趋向于0,相角落后90度。所以RC网络只允许低频信号通过,具有低通滤波器的性质。r(t)的幅值为1保持不变，而频率w由小到大变化，其输出c(t)为以下波形：【附】：不稳定系统频率响应ω=1ω=2.5ω=4ω=0.5暂态稳态不稳定系统)1(1s【小结】线性定常系统频率特性的求法微分方程G(s)G(jw)物理意义:表示系统或环节对不同频率正弦信号的跟踪能力或复现能力；G(jw)只与系统或环节本身的结构参数有关,是系统或环节本身的属性；与输入信号和初始条件无关。s＝jw)(),(A1212)(,)(AAA『例1』某系统结构图如图，求作用下的稳态输出;(1)(2)『解』设输出闭环传递函数频率特性46s－r(t)c(t)trtc302cos3ttr208sin3ttr106)(1)()()()(ssGsGsRsCs106jj22cosctAt3.1159.0)102(10261026)2(122tgjj2212120.5933011.3AAA0.5911.3A221.7718.7A。7.182cos77.1ttc。7.182cos77.1tcss302cos3.1ttr7.3847.0108tan108610868122jj0.4738.7A2212120.4732038.7AAA221.4118.7A。208sin3.2ttr。7.188sin41.1ttc。7.188cos41.1tcss『例2』以下两个系统的输入均为r(t)＝sint，分别求出系统的稳态输出和稳态误差。(a)(b)『解』(a)设12s－21s－12ss45212jjj22sintAtc21212AAA454511245sin2tctcss求稳态误差，设稳态误差(b)稳态输出和稳态误差均为无穷大。11121111ssssGsRsE11sssRsEser9014513511111jjjjjereesstAtetesin901111e1AAAettetesscos)90sin()(sscsse二.频率特性的几何表示方法常用的频率特性图有极坐标图与伯德图。1.幅相频率特性曲线(极坐标图)G(jw)为复数,在坐标图中，它是一个矢量,既可用模值和幅角表示,也可在直角坐标中用实部和虚部表示。即:当输入正弦信号频率从0变到+∞,矢量的终端便在复平面上描绘出一条轨迹,这条轨迹就是G(jw)的极坐标图,通常又称为幅相频率特性曲线，也称Nyquist曲线。jGjIjGeAjGmjRejeA正负的定义用箭头表示w增加的方向,角度以实轴正方向作为相角的零度线,反时针旋转的角度定义为正。『例』如RC网络的传递函数:幅相频率特性:幅频特性:相频特性:11RCssG11RCjjG1122TjGARCarctan『注』幅频特性是w的偶函数，相频特性是w的奇函数，故w从0到-∞的极坐标图与w从0到+∞的极坐标图对称于实轴，因此通常只需绘制w从0到∞时的极坐标图。00ReIm2.对数频率特性曲线(伯德图)幅频特性相频特性jGjIjGeAjGmjReA对数幅频特性曲线每个环节由乘积形式和形式半对数坐标纵坐标：L(w)=20lgA(w)，线性刻度，单位为分贝(dB)横坐标：w，按对数刻度，单位为弧度/秒对数相频特性曲线纵坐标：，线性刻度，单位为度横坐标：w，对数刻度，单位为弧度/秒对数相频特性对数幅频特性对数频率特性为使同一频率下的对数幅频特性和对数相频特性相联系，通常将对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线画在一起，采用同一个频率轴。采用对数坐标图的优点将串联环节幅相频率特性的模相乘转化为对数幅频特性相加,极大地简化了运算及作图。对数幅频特性以db为单位,减小了L(w)曲线的斜率,便于在更宽频率范围内研究系统的频率特性。可以用折线法快速绘制系统近似的幅频特性,便于对系统进行分析和综合校正。由于w轴采用对数分度刻度,可大范围地扩展横轴上的频率范围,又不降低低频段特性的准确性。系统模型间的关系⑴幅值相乘=对数相加，便于叠加作图；纵轴横轴坐标特点特点按lg刻度，dec“十倍频程”按标定，等距等比“分贝”dB)(lg20)(jGL⑵可在大范围内表示频率特性；⑶利用实验数据容易确定L(),进而确定G(s)。5-2典型环节与开环系统频率特性一.典型环节及其频率特性线性定常系统的传递函数是由典型环节所构成，最基本的典型环节有比例环节积分环节、微分环节惯性环节、一阶微分环节振荡环节、二阶微分环节不稳定环节。1.比例环节传递函数频率特性幅频特性相频特性极坐标图和伯德图0,KKsG0jKejG0KAL20lgK-90O-180OjK90111AjjGssG2.积分环节和微分环节a)积分环节传递函数频率特性幅频特性相频特性对数幅频特性lg201lg20L每增加十倍时，减少20dB积分环节的对数幅频曲线是一条斜率为－20dB/dec的直线，该直线与零分贝线相交于w=1的地方。0.1201010-20LL90AjjGssGlg20Lb)微分环节传递函数频率特性幅频特性相频特性对数幅频特性极坐标图和伯德图L190O0j0-90O-20dB/dec03.惯性环节和一阶微分环节a)惯性环节传递函数频率特性幅频特性相频特性对数幅频特性TTAeTjTjGTssGTjarctan1111111122arctan221lg20lg2022TAL0,1,0A45,707.0,/1AT90,0,A21)(Im21)(Re22jGjG极坐标图和伯德图极坐标图j00451T1对数幅频特性渐近线方法惯性环节的对数幅频渐近线L渐由两条线段组成当时，为与0分贝线重合的线段;当时，为斜率为－20dB/dec的线段；两线段相交于横坐标处,称为交接频率或转折频率。1lg20lg2022TAL1TT,20lg-1T0当当，渐LL1TL1TT/1T/1渐近线误差)1(lg201lg20)1(1lg202222TTTTTLLL渐－L-90O-20dB/dec1T最大误差出现在交接频率w=1/T处，约等于－3dB。对数相频特性Tarctan90/145/10TT渐近线方法，考虑惯性环节的对数相频特性渐近线由三条线段组成3.8410arctan7.51.0arctan0.11000惯性环节的高低频特性低频－比例高频－积分b)一阶微分环节传递函数频率特性幅频特性相频特性对数幅频特性1TssGTjeTjTjGarctan2211Tarctan122TA1lg2022TL极坐标图和伯德图j01(dB)-20W=1/T10/T)(w090090045ww)(wL与惯性环节比较一阶微分环节惯性环节1lg2022TLTarctanTarctan1lg2022TL对数幅频特性:对数幅频特性:对数幅频特性:对数幅频特性:4.振荡环节和二阶微分环节a)振荡环节传递函数频率特性幅频特性相频特性12110,121222222nnnnnnnjjjGsssssG222211nnA212arctannn极坐标图和伯德图极坐标图000180,0,90,21,0,1,0AAAnn时当时当时当j01极坐标图与虚轴交点与有关，越小，越大