量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)-答案----第7章

第七章：粒子在电磁场中的运动P367——7.1，7.2证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：[]zyxcqivvBˆ,2μ=（1）[]xzycqivvBˆ,2μ=（2）[]yxzcqivvBˆ,2μ=（3）[证明]根据正则方程组：xxpHxv∂∂==˙ˆ，Φ+⎟⎠⎞⎜⎝⎛-=qAcqpH221ˆμ⎟⎠⎞⎜⎝⎛-=xxxAcqpvˆˆ1ˆμ同理⎟⎠⎞⎜⎝⎛-=yyyAcqpvˆˆ1ˆμ()zyxppppˆ,ˆ,ˆˆ是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=yyxxyxAcqpAcqpvvˆˆ,ˆˆ1,2μ=[][][][]yxyxyxyxAAcqpAcqApcqppˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ122222μμμμ+--（4）正则动量与梯度算符相对应，即∇=ipˆ，因此[]0ˆ,ˆ=yxpp又Aˆ仅与点的坐标有关[]0ˆ,ˆ=yxAA[]zxyxyyxBciqyAxAicqiAcqAxicqvv2222y,,,μμμμ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂-∂∂⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=（因AB×∇=ˆˆ）其余二式依轮换对称写出。P368证明在规范变换下ψψρ*=（1）[]ψψμψψψψμ***--=Acqppjˆˆ21（2）⎟⎠⎞⎜⎝⎛-=Acqpvˆμ（机械动量的平均值）都不变（3）（证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P36820式）ψψciqfe→（4）则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度：ρρψψψψψψρ=′=⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=′**-*ciqfciqfciqfciqfeeee又设变换后几率流密度是j′，将（4）代入（2）式右方，同时又代入()trfAA,∇+→()[]ψψμψψψψμciqfciqfciqfciqfciqfciqfeetrfAcqePeepej*-*-*-∇+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=′,21（5）注意到算符的对易关系推广到三维：())(F)(F,ˆrirp⋅∇=∇（6）令ciqfer=)(F则有：()ciqfciqfciqfciqfefcqeipeep∇=∇=-⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇+=fcqpeepciqfciqf（7）⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇-=--fcqpeepciqfciqf(8)将（7）(8)代入（5）式等号右方第一项第二项，（5）式成为：()()jAcqppfAcqfcqpeefcqpeejciqfciqfciqfciqf=--=∇+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇--⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇+=****-*-ψψμψψψψμψψμψψψψμ2121（9）在证明第3式时，设变换后的v是v′。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和)4(′的矢势的变换式：τψψτψψτψψτψψμdefAecqdepedefAcqpedAcqpAcqpvciqfciqfciqfciqfciqfciqf⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇+-=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇+-=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛′-′′=⎟⎠⎞⎜⎝⎛′-′=′*-*-*-*∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ˆˆˆˆˆˆ前式第一个积分可重复用（7）式，得：vdAcqpdfAcqdfcqpeevciqfciqf′=⎟⎠⎞⎜⎝⎛-=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇+-⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇+=′∫∫∫∫∫∫∫∫∫***-μτψψτψψτψψμˆˆˆ命题得证P382——7.47.1——3.137.2——3.127.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B中运动，求能级本征值和本征。（参《导论》225P）解：以电场方向为x轴，磁场方向为z轴，则()0,0,εε=，()BB,0,0=（1）去电磁场的标势和矢势为xεϕ-=，()0,,0BxA=（2）满足关系ϕε-∇=，AB×∇=粒子的Hamiton量为xqpxCqBppuHzyxε-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛-+=22221（3）取守恒量完全集为()zyppH,,，它们的共同本征函数可写成()()()zpypizyexzyx+=ψψ,,（4）其中yP和zP为本征值，可取任意函数。()zyx,,ψ满足能量本证方程：()()zyxEzyxH,,,,ψψ=因此()xψ满足方程()()()xExxqxpxCqBppuzyxψψεψ=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛-+22221（5）亦即，对于()xψ来说，H和F式等价：()2222222222122zyyppuxpuCqBqxuCBqxuH++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+-+∂∂-⇒ε()()22202222022222221222zyppuxuCBqxxuCBqxu++--+∂∂-=（6）其中⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=upBCqBuCpuCqBqBquCxyyεε2220（7）式（6）相当于一维谐振子能量算符()uCBqxxuxu=-+∂∂-ωω,212202222再加上两项函数，因此本题能级为()222022221221zyppuxuCBqnE++-⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=ω222221221zypupBCBuCuCqBn+--⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=εε（8）其中yP和zP为任意实数，⋯,2,1,0=n式（4）中为以()xψ为()0xx-变量的一维谐振子能量本征函数，即()()()202ξξψψ-=-=eHxxxnn（9）()ξnH为厄密多项式，()()00xxCBqxxu-=-=ωξ。7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B中运动，求能级本征值和本征函数。解：以电场方向为x轴，磁场方向为z轴，则()0,0,εε=，()BB,0,0=（1）去电磁场的标势和矢势为xεϕ-=，()0,,0BxA=（2）满足关系ϕε-∇=，AB×∇=粒子的Hamiton量为xqpxCqBppuHzyxε-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛-+=22221（3）取守恒量完全集为()zyppH,,，它们的共同本征函数可写成()()()zpypizyexzyx+=ψψ,,（4）其中yP和zP为本征值，可取任意函数。()zyx,,ψ满足能量本证方程：()()zyxEzyxH,,,,ψψ=因此()xψ满足方程()()()xExxqxpxCqBppuzyxψψεψ=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛-+22221（5）亦即，对于()xψ来说，H和F式等价：()2222222222122zyyppuxpuCqBqxuCBqxuH++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+-+∂∂-⇒ε()()22202222022222221222zyppuxuCBqxxuCBqxu++--+∂∂-=（6）其中⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=upBCqBuCpuCqBqBquCxyyεε2220（7）式（6）相当于一维谐振子能量算符()uCBqxxuxu=-+∂∂-ωω,212202222再加上两项函数，因此本题能级为()222022221221zyppuxuCBqnE++-⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=ω222221221zypupBCBuCuCqBn+--⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=εε（8）其中yP和zP为任意实数，⋯,2,1,0=n式（4）中为以()xψ为()0xx-变量的一维谐振子能量本征函数，即()()()202ξξψψ-=-=eHxxxnn（9）()ξnH为厄密多项式，()()00xxCBqxxu-=-=ωξ。7.1设带电粒子相互的均匀电场E和均匀磁场B中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为z轴，电场方向为x轴方向）[解]为使能量本征方程能够求得，可以这样选择矢势，使0=xABxAy=0=zA设电场E的大小是ε,选择标势)(rV，使场沿着x轴qdxdVε=-，qxVε-=哈密顿算符是：qxpxBcqxpcqBppqxpBxcqppHzyyxzyxεμεμ-+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+-+=-+-+=}2ˆˆ{21})ˆ(ˆ{21ˆ22222222（1）Hˆ中不出现y和z，因此0]ˆ,ˆ[=ypH0]ˆ,ˆ[=zpH可以依照本章中§7。2均匀磁场中带电粒子的运动的解法，先求能量本征函数，由于ypˆ，zpˆ守恒，波函数包括这两个算符的本征函数作为其构成因子：()()()zpypizyexXzyx+=,,ψ（2）代入能量本征方程式：ψμψεψψψψ22222222222])(2[2ExcqBxpqxycqBizyx-=-+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂整理，并约去同因式)(zzpyypie+后，得到X（x）的本征方程)()(]})(2[212{222222222xEXxXppxqeqBpxcBqxzyy=+++-+∂∂-μεμμ)()(]})(212[)()(22{222222222xEXxXBcpppqBcqBcpxcqBxyzyy=++++--+∂∂-μεμμμεμμμ（3）或者简写作)()(})(22{0202222xEXxXExxx=+-+∂∂-ωμμ式中20,qBqBqcpxcqByεμμω+≡=，2220)(212BcpppEyzyμεμμ+-+=方程式（3）明显的是一个沿x方向振动的谐振子的定态薛定谔方程式，它的固有频率是ω，振动中心在0xx=一点上，同时具有能量本征值：0EE-其中0E是有关于y、z方向的分能量，按一维谐振子理论，它的能级是cqBnnEEμω)21()21(0+=+=-(4)它的本征函数写作)]([)(0)(2120xxHeCxXnxxn-=--μωμω（5）这个运动电荷的总能量E是：cqBnBcpppcqBnEEyzyμμεμμμ)21()(212)21(2220+++-+=++=（6）7.2设带电粒子在均匀磁场B及三维各向同性谐振子场22021)(rrVμω=中运动，求能谱公式。[解]本题采用柱面座标时，可以像第4题那样，将本征函数表示成合流超几何级数，因而决定能量本征值，解法也类似。粒子座标为),,(zφρ令0,0,21===zAABAρφρ此外应将谐振子的弹性力场写成柱面形成：)(21),(2220zzV+=ρμωρ根据本章习题4中合算符公式（2）再添上前述附加项：)(ˆ),(ˆ}22{})28(2]111[2{)(21)2(212]11[2ˆ2122022222022222222222202222222222zHHzzcBqcBiczcqBcBiczH+=+∂∂-+++∂∂+∂∂+∂+∂∂-=+++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=φρμωμρμωμφμφρρρρμρμωρμφμρρφρρμ（1）哈氏算符的两面部分1ˆH与φρ,有关，第二部分)(ˆ2zH与z有关，这二者是对易，因此能量本征值也分二部分，可以分别计算，也可有分离变量法将本征函数分为二部分：)(),(),,(φφρφρψZcz=（2）得到：ZEZzZECcBqCcBicCCCC2202221220222222222222)28(2]11[2=+∂∂-=++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-μωμρμωμφμφρρρρμ（3）（3）式左方的哈氏算符),(ˆ1φρH可以和φ∂∂=ilzˆ对易，因此),(φρc可以和这个算符的本征函数有共同因式可设)(),(ρφρφReCim=（4）但⋯⋯,2,1,0±±=m将（4）代入（3）得：RERcBqRcBmqRmRR122022222222)28(2]1[2=++--∂∂+∂∂-ρμωμμρρρρμ整理后写成：0])44()2[(12222220222222122=-+-+++RmccBqEcmBqddRdRdρρωμμρρρ(5)这个方程式和第4题的方程式（5）是相似的，其中，本题方程式（5）的212Eμ相当于第4题（5）式的得222kE-μ，此外（5）式多出一项R22202ρωμ这是谐振紫弹性力场势能，第四题的径向方程式是：0]4)2[(122222222122=--+