第三章-流体运动学-下

3.4连续方程——质量守恒定律在流体力学中的应用。它反映了cs上速度分布与cv内密度变化之间的积分关系。在流场中任取一空间固定的封闭曲面S（控制面controlsurface），所围体积V（控制体controlvolume）。质量守恒：单位时间流出控制面的净质量=控制体内流体质量的减少3.4.1积分形式的连续方程VSdVtdSnvVSdVtdSnv——Euler型连续性方程特例：（流入、流出CS体积相等）流体不可压缩：const沿流管定常流动：0t流动定常（）：沿流管不可压流动：222111SvSv0SdSnvVSdVtdSnv0SdSnv（流入、流出CS质量相等）constvSconstvS（沿流管）（沿流管）不可压流动中，流管的截面积与流速成反比，S小的地方流速快，S大的地方流速慢。平面流动：流线间距大，流速慢；间距小，流速快。即流线的疏密反映了流速的大小。3.4.2微分形式的连续方程0vt连续流场中空间任意点上速度和密度必须满足的微分（连续）方程。（流场中）)0(t0v)(const0v0zwyvxut01zvvrrvtzrVSdVtdSnvGauss公式0dVtVv不可压流动连续方程：速度场的散度为0——体积膨胀速率为0。3.5流体微团的运动分析流体在运动过程中可能发生变形或旋转，只要微团的运动分析清楚了，流场的运动就知道了。流体微团：指大量流体质点组成的具有线性尺度效应的微小流体团。zxyM0dxdydz一般运动＝平移＋线变形＋旋转＋角变形tttM0M)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyxyzzxzxyyzyzx有旋与无旋运动irrotationalrotational例：已知流场速度分布kxyjyxiu3)(52试判断流场的有旋性。[解]：因为xxzuyuyzx23032121所以0流场有旋。3.5.1亥姆霍兹（Helmholtz）速度分解定理Taylor展开并略去高阶小量，有zzyyxxtzyxtzzyyxxMvvvvv),,,(),,,(zzwyywxx1,2,3iMiijjvvvxixt时刻：流体微团),,(0zyxMkjivwvutzyx),,,(kjirzyx),,(zzyyxxMkjivMMMMwvutzzyyxx),,,()(21)(21ijjiijjiijijjixvxvxvxvxv)(21ijjiijxvxv)(21ijjiijxvxvjjiiiMxxvvvzwzvywxwzuzvywyvyuxvxwzuyuxvxuijzzzyzxyzyyyxxzxyxxij)(21)(21)(21)(21)(21)(21流体的变形张量：二阶对称张量，有6个独立分量。)(21)(21)(21yuxvxwzuzvywxyzzxyyzxvωkji21zyxωvΩ2流体运动的涡量流体平均旋转角速度Helmholtz速度分解定理——流体微团中任意两点间速度关系：jiijEee)(21ijjiijxvxvvω21jijjijiiMxxvvrωrvvEM可见，流体微团中任意一点的速度由平移、变形和旋转三部分速度构成。),,(0zyxMkjivwvutzyx),,,(kjirzyx),,(zzyyxxMkjivMMMMwvutzzyyxx),,,(一般运动＝平移＋（线变形＋角变形）＋旋转3.5.2流体微团的运动（几何）分析1.平移运动——平移速度v代表微团平移运动。2.线形变运动：x方向流体线的线变形速率;：y方向流体线的线变形速率;：z方向流体线的线变形速率。xuxxyvyyzwzz微团体积膨胀率：流体微团的体积在单位时间的相对变化。vzwyvxutdVdV)(1绕平行于z轴的转动轴旋转角速度：4旋转运动xvdtd1yudtd2绕z轴的平均旋转角速度：)(21yuxvzvkjiω21zyx由对应的角速度3.角变形运动平面上两垂直流体线的平均角变形速率：xvdtd1yudtd2xyyuxvdtdd)(21)(2121)(21ijjiijxvxv在右侧加减、dzzudyyudxxuuu'dyxu21dzxw21得到：dzzuxwdyyuxvdzxwzudyxvyudxxuuu)(21)(21)(21)(21'角变形速度旋转角速度流体微团的旋转运动与刚体转动的不同？ωSummary:流体微团的运动由三部分组成：•以速度v作平移运动；•绕某瞬时轴以平均角速度旋转，不引起微团形状的改变；•纯变形运动：线变形速率使微团的体积膨胀或缩小，角变形速率使微团发生角变形。zzyyxx,,zxyzxy,,ttt速度分解定理的意义：（1）旋转运动从一般运动中分离出来，分为无旋和有旋运动;（2）变形运动从一般运动中分离出来，流体的变形速率与应力联系起来，研究粘性流体运动规律。ijijωvΩ2（有旋）0v（无旋）0vDescriptionandClassificationofFluidMotions1-D2-D3-DLaminarunsteadysteadyTurbulentirrotationalrotationalContinuumFluidMechanicsViscousCompressibleIncompressibleInviscid)0(CompressibleIncompressibleTimeSpaceBehaviorclassificationoffluidmotion例3-5已知流场的速度分布为，，求:流体质点的运动迹线和旋转角速度。（在流场中，irrotationalflow）0v0v（在流场中，rotationalflow）yuxv0w3.6有旋运动的一般性质(RotationalFlow)有旋运动的基本特征:存在涡量场。0vΩDescriptionofvelocityfield:Streamline,PathlineandFlowrate3.6.1涡线、涡管、涡通量和环量(Descriptionofvorticityfield)积分时时间变量t作常数处理。涡线(Vortexline):任一时刻，涡线上每一点的切向量都与该点的涡向量相切。涡线微分方程0rΩd),,,(),,,(),,,(tzyxdztzyxdytzyxdxzyxrdω涡管(vortextube):某一时刻，由涡线组成的管状曲面。截面积无限小的涡管称为涡束（涡线）。涡通量(vortexflowrate):涡量场的通量（涡强）。SSdsdJnΩsΩ速度环量(velocitycirculation):ccdlv3.6.2速度环量定理（Stokes定理）沿任意开口曲面边界线的速度环量等于通过该曲面的涡通量。即：涡通量和速度环量都是反映旋涡作用的强弱。SSCdddsΩsvlvJCΩnCSΩ3.6.3涡管强度守恒定理(Conservationofvortexflowrate)2Ω1Ω3S2S1S2C1C证明：在同一瞬时，沿涡管长度各截面的涡通量保持不变。SnconstdS321nnn1SSSdSdSdS21SnSndSdS可见，涡量与截面积S成反比，S大涡量小，S小涡量大。若S缩为零，则涡量或角速度将增至无穷大。物理上不可能。若涡量在截面上均匀分布，记为，得21,SS21,constSS211涡管强度守恒定理的推论：涡管不可能在流体中开始或终止，它只能自成封闭形，或开始、终止于边界面或伸展到无穷远。如烟圈成呈环形、龙卷风开始和终止于地面与云层。constSS2113.7无旋运动的势函数(VelocityPotential)0vvzwyvxu,,wdzvdyudxtzyx),,,(积分与路径无关，时间t为参数，积分时当作常数处理。rvrvr1,drvdrvddrrdr速度势lvddlzθrdzrddrdzdydxdeeekjilxyr速度势函数的性质：1.速度势沿任一方向的方向导数等于速度在该方向的投影；势流：不可压缩流体的无旋流动。lle2.等势面与流面垂直(平面流:等势线与流线垂直)梯度(速度)垂直等势面，流面与速度相切，故等势面垂直流面。3.不可压缩流体的势函数为调和函数直系中:02v0222222zyx4.势函数具有可叠加性若令22120,0,3210221223.8流函数(StreamFunction)090ld符号：流函数沿某方向导数等于沿此方向顺时针转所对应方向上的速度分量。平面极坐标系中:积分与路径无关，时间t为参数，积分时当作常数。rvrvr,1drvdrvddrrdrryx不可压平面流连续方程udyvdx0yvxu引入xvyu,022xyyxdxdydlnBAAB1.即流线；const0udyvdxdyydxxdvdyudx2.两点流函数之差等于通过其连线的体积流量.ABBABABABAyxBAddyydxxvdxudydlvnundlQnvdlndldyxcosdlndldxysinQABForaxisymmetricalflow:)(2ABQ流函数的几个性质：流函数的几个性质：3.不可压平面无旋流的是调和函数,且满足C-R条件和0yuxvxvyu,022222yx02vCauchy-RiemannCondition:xyvyxu3214.势函数具有可叠加性流函数＝const即流线