10.3由平行截面面积求体积(华东师大数学分析)

10.3由平行截面面积求体积一、平行截面面积为已知的立体的体积二、旋转体的体积第六章xoab一、平行截面面积为已知的立体的体积x设某个立体𝛀夹在垂直于X轴的两个平面x=a,x=b之间，∀𝒙∈𝒂,𝒃,过点𝒙与𝒙轴垂直的截面面积记为𝑨𝒙,𝒙∈𝒂,𝒃，若∀𝒙∈𝒂,𝒃，截面面积𝑨𝒙都可求，且𝑨𝒙是连续函数，则这个立体的体积可用定积分来计算.(1)选择𝒙作为积分变量，𝒙∈𝒂,𝒃;(2)把𝒂,𝒃划分为n个小区间，记其中任一个为𝒙,𝒙+𝒅𝒙,过𝒙垂直于𝒙轴的截面面积为𝑨𝒙，把以𝑨𝒙为底以𝒅𝒙为高的柱体体积作为小立体的体积近似值，则∆𝒗≈𝒅𝒗=𝑨𝒙𝒅𝒙(3)所以立体𝛀的体积为𝑽=𝑨𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂体积元素RRxyo解取坐标系如图，底圆方程为222Ryxxtan21)(yyxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323R例1一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.垂直于𝒙轴的截面为直角三角形，截面面积,tan)(21tan21222xRy,222RyxxyoRx22)(xRhyhxA立体体积dxxRhVRR22.212hR例2求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.垂直于x轴的截面为等腰三角形，其截面面积解取坐标系如图，底圆方程为立体体积例3求椭球面𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐+𝒛𝟐𝒄𝟐=𝟏围成的椭球体的体积.解用平面𝒙=𝒙𝟎∈[−𝒂,𝒂]截椭球体，截面为椭圆，其方程为𝒚𝟐𝒃𝟐(𝟏−𝒙𝟎𝟐𝒂𝟐)+𝒛𝟐𝒄𝟐(𝟏−𝒙𝟎𝟐𝒂𝟐)=𝟏故𝑨𝒙𝟎=𝝅𝒃𝒄𝟏−𝒙𝟎𝟐𝒂𝟐,𝒙𝟎∈[−𝒂,𝒂]𝑽=𝝅𝒃𝒄𝟏−𝒙𝟐𝒂𝟐𝒂−𝒂𝒅𝒙=𝟒𝟑𝝅𝒂𝒃𝒄球的体积𝐕=𝟒𝟑𝝅𝑹31、旋转体概念:就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、旋转体的体积abxyobxyoxyo由连续曲线y=f(x),x=a,x=b,及x轴围成的平面图形绕x轴旋转所生成的旋转体的体积:𝑨𝒙=𝝅𝒚𝟐=𝝅[𝒇(𝒙)]𝟐，𝒙∈[𝒂,𝒃]abxyo2、绕x轴易知，截面积𝑽𝒙=𝑨𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂=𝝅𝒚𝟐𝒅𝒙𝒃𝒂=𝝅[𝒇(𝒙)]𝟐𝒅𝒙𝒃𝒂所以例4.求围成的图形绕x轴旋转所得体积.解：如图所示102dxyVx55105104xdxxxOy解直线OP方程为yrhPxo例5连接原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．xhry𝑨(𝒙)=𝝅𝒓𝒉𝒙𝟐,𝒙∈[𝟎,𝒉]dxxhrVhx20hxhr03223.32hr所以例6求星形线绕x轴旋转构成旋转体的体积aaoyx解,323232xay332322)(xay],[aaxdxxaVaax33232)(dxxxaxaaa)33(223432323420axxaxaxa03373235342|)37959(23)3179591(2a.105323a由连续曲线x=g(y),y=c,y=d,及y轴围成的平面图形绕y轴旋转所生成的旋转体的体积:3、绕Y轴𝑽𝒚=𝝅𝒙𝟐𝒅𝒚𝒃𝒂𝑽𝒚=𝝅𝒙𝟐𝒅𝒚𝒅𝒄=𝝅[𝒈(𝒚)]𝟐𝒅𝒚𝒅𝒄xyodc例7求y=lnx,x=0,y=0,y=1围成图形绕y轴旋转的体积解如图所示102dyxVy102dyey10222ydey)1(2|22102eeyxyo1例8求绕x轴和y轴旋转的体积解如图所示，由对称性所求体积等于第一象限图形旋转所得体积的两倍.dxyVax022dxxaaba02222)(2aabbxOyaxxaab02222|)31(2234abbaVy234同理可得oxyba-b-aoxyba-b-a(1)(2)球的体积𝐕=𝟒𝟑𝝅𝑹3解dxxyVax)(2202022)cos1()cos1(dttata20323)coscos3cos31(dtttta.532a例9求摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积.(1)绕x轴旋转的旋转体体积axyOa2(2)绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.a2axyOa2)(1yxx)(2yxxdyyxVay)(2202dyyxa)(2201222sin)sin(tdtatta022sin)sin(tdtatta=−𝝅𝒂𝟑(𝒕−𝒔𝒊𝒏𝒕)𝟐𝒔𝒊𝒏𝒕𝒅𝒕𝟐𝝅𝟎=𝟔𝝅𝟑𝒂𝟑解xydyybaybaVbby])()[(222222dyybabb224dyybab02282418ba222ab旋轮体例10求圆(𝒙−𝒂)𝟐+𝒚𝟐=𝒃𝟐𝒂𝒃𝟎绕y轴旋转的旋转体体积。𝒙𝒚例11旋转轴不是x,y轴的例题作业P251,3𝒚𝟐