《常微分方程》所有证明题及答案

《常微分方程》证明题及答案54证明题（每题10分）1、设函数f(t)在[,)0上连续且有界，试证明方程dxdtxft()的所有解均在[,)上有界.2、设函数f(x),p(x)在[,0）上连续，且bxfaxpx|)(|0)(lim且(a,b,为常数)求证：方程()dypxyfxdx的所有解均在[,)上有界.3、设函数f(x)在[,0）上连续，且lim()xfxb又a0，求证：方程()dyayfxdx的一切解()yx，均有lim()xbyxa4、设函数y(x)在[,)0上连续且可微，且lim['()()]xyxyx0试证lim()xyx05、若y1(x),y2(x)为微分方程12()()()0ypxyxpxy的两个解，则它们的朗斯基行列式为wyykepxdx(,)()121其中k为由y1(x),y2(x)确定的常数6、已知()fx是连续函数。（1）求初值问题0()|0xyayfxy的解()yx，其中a是正常数。（2）若|()|fxk（k为常数），证明当0x时有|()|(1)axkyxea。7、已知当1x时()fx具有一阶连续导数，且满足01()()01(0)1xfxfxftdtxf（1）求()fx；（2）证明：当0x时有()1xefx。8、设12(),()yxyx是方程()()ypxyqx的两个不同的解，求证它的任何一个解()yx满足恒等式：121()()()()yxyxKyxyx（K为常数）9、当x时，()fx连续且|()|fxM。证明：方程()yyfx（1）在区间x上存在一个有界解，求出这个解。并证明：若函数()fx是以为周期的周期函数，则这个解也是以为周期的周期函数。10、设函数(),()fugu连续可微，且()()fugu，试证方程()()0yfxydxxgxydy《常微分方程》证明题及答案55有积分因子1[(()())]xyfxygxy11、证明方程(,)(,)0MxydxNxydy具有形如[(,)]xy的积分因子的充要条件为1[(,)]MNNMfxyyxxy，并求出这个积分因子。12、证明贝尔曼（Bellman）不等式。设k为非负常数，()ft和()gt是区间t上的非负连续函数，且满足不等式()()(),tftkfsgsdst则有()exp()tftkgsds，t。13、设在方程()()0ypxyqxy中，()px在某区间I上连续且恒不为零，试证：它的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I上的严格单调函数。14、假设1()0xt是二阶齐次线性方程12()()0xatxatx的解，这里1()at和2()at是区间[,]ab上的连续函数。试证：2()xt为方程的解的充要条件是12112[,][,]0WxxaWxx。其中12[,]Wxx表示12(),()xtxt的朗斯基行列式。15、在方程32()yyyfx中，()fx在[,)a上连续，且lim()0xfx。试证明：已知方程的任一解()yx均有lim()0xyx。16、设()fx为连续函数，且满足0()sin()()xfxxxtftdt。求证：1()sincos22xfxxx.17、设()Xt是常系数线性方程组()()dxtAxtdt的基解矩阵，适合条件(0)XE，试证对任何,ts成立等式()()()XtsXtXs.18、设()Xt是连续的n阶方阵，(0)X存在，且适合关系()()()XtsXtXs，|(0)|0X.试证：存在n阶常值方阵A，使得()()dXtAXtdt。《常微分方程》证明题及答案56证明题答案1、证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t0[0+)由一阶线性方程的求解公式有00()()0()()tttsttxtxefseds现只证()xt在[t0,+)有界，设|()|ftM,t[0+)于是对t0t+有0()0||||Mttxxe0()|()|tMsttfseds|x0|+0ttstMeeds|x0|+M[10ett()]|x0|+M即证2、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0[,)0由一阶线性方程的求解公式有yxyefsedsxxsxxx()()()()000现只证y(x)在[x0,+)有界，不妨设x0充分大于是对x0x+有lim()xpxa0,则存在M10,使当xx0时,有p(x)M1||||()yyeMxx00|()|()fsedsMstxx0|y0|+bMeMxx110()()|y0|+bM1即证。3、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0[,)0由一阶线形方程的求解公式有yyefsedsaxxxxasx000()()()yyeefsedsaxxaxxxas000()()两边取极限lim()limlim()()xxaxxxaxxxyxyeefsedsas000=limx0()asxxaxfsedse=limx()axaxfxebaea《常微分方程》证明题及答案574、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0[,)0由一阶线性方程的求解公式有yxyefsedsxxsxxx()()()()000yeefsedsxxxsxx000()()两边取极限lim()limlim()()xxxxxxxxyxyeefsedss000=0+limxefxexx()5、证明：由朗斯基行列式定义有wyyyyyyyyyy(,)''''1212121212dwdx1212()yyyy=yyyypyyyypxw12121211''''('')()用分离变量法求解有wyykpxdx()()121显然k为由yxyx12(),()确定的常数6、证：（证法一）（1）原方程的通解为()()()adxaxdxaxaxaxyxeCfxedxCeefxedx记()Fx为()axfxe的任一原函数()()axaxyxCeeFx。由0|0xy得到(0)CF。所以0()()(0)()xaxaxatyxeFxFeftedt（2）001|()||()|(1)(1)xxaxataxataxaxaxkyxeftedtkeedtkeeeaa（证法二）（1）在方程两边乘以axe（积分因子）'()axaxaxyeayefxe从而()'()axaxyefxe由(0)0y得到：0()xaxatyeftedt即0()xaxatyeftedt（2）证法同上7、解：（1）由题设知(0)(0)0ff。则(0)(0)1ff且0(1)[()()]xxfxfxftdt《常微分方程》证明题及答案58令()yfx两边求导得到(1)()0(1)xyyyx设()ypx'()ypx得21dpxdxpx两边积分得1lnln(1)lnpxxc1xcypex代入初始条件(0)(0)1,1pfc故()(1)1xefxxx（2）利用拉格朗日中值定理知：当0x时()(0)()01efxffxx在0和x之间于是()(0)1fxf另外1(())()0(0)1xxxxfxefxeeexx所以()xfxe在(0,)单调增加，而0(())|(0)10xxfxef。故当0x有())0xfxe。从而当0x时()1xefx。8、证：由通解公式知：任一解()yyx可由公式()()()()pxdxpxdxyxeCqxedx（1）表示，其中C为()yx对应的某常数。12(),()yxyx也应具有上述形式，设它们分别对应常数12,CC且12CC，则由（1）式得112121()()()()yxyxCCKyxyxCC9、证：方程（1）的通解为0()xxtyeCeftdt（2）1）取0()tCeftdt（由假设知，此广义积分收敛），得解()()xxtyxeftedt（3）则由(,)x，|()|fxM易证|()|(,)yxMx此即为（1）的一个有界解。2）若()()fxfx，对（1）中确定的解（3），当(,)x有()()()xxtyxeftedt令tz，则上式右端为()()xxzeefzdz()xxzeefzedz《常微分方程》证明题及答案59()()xxzefzedzyx所以()yx也是以为周期的周期函数。10、证：用乘方程两端，得()()0[()()][()()]fxygxydxdyxfxygxyyfxygxy(1)因为()()(,),(,)[()()][()()]fxygxyMxyNxyxfxygxyyfxygxyMNyx2()()()()()'()1()()fxyxfxygxyfxyxfxygxyxfxygxy2()()()()()()fxygxyfxygxyfxygxy所以（1）是全微分方程。11、证：方程有积分因子(,)xy的充要条件是MNNMxyyx，令[(,)]xy，则有[(,)]MNNMxyxyyx即[(,)]xy满足下列微分方程1[(,)]dMNNMxydyxxy上式右端应为(,)xy的函数，这就证明了[(,)]xy为方程的积分因子的率要条件为1[(,)]MNNMfxyyxxy求解（1）式得((,))[(,)]fxydxye。12、证：1）0k时，令()()(),ttkfsgsds则'()()()()()tftgtgtt，由()0t可得()()()tgtt两边从到t积分得ln()ln()()ttgsds即有()exp()()ttgsds《常微分方程》证明题及答案600k所以()exp()ttkgsds即有()()exp()tfttkgsds，t。2）0k时，对任意0，由于()()()tftfsgsds，所以()()()tftfsgsds。由1），有()exp()tftgsds。当0时，有()0ft。因为()0ft，即得()0ft。从而()exp()tftkgsds，t由1），2）知，不等式成立。证毕。13、证：设12(),()yxyx是已知方程的定义在区间I上的任意两个线性无关的解。根据刘维尔公式有0()0()()xxpdWxWxe其中0()0Wx。考察0()0()()()xxpd