2020届高考数学(文)总复习课件：-导数与函数的单调性

导数与函数的单调性第二节课前自修区基础相对薄弱，一轮复习更需重视基础知识的强化和落实课堂讲练区考点不宜整合太大，挖掘过深否则会挫伤学习的积极性课时跟踪检测返回课前自修区返回一、基础知识批注——理解深一点返回函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)若f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；(2)若f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.返回二、常用结论汇总——规律多一点返回(1)在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．返回三、基础小题强化——功底牢一点返回一判一判对的打“√”，错的打“×”(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．()×√√返回(二)选一选1．函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数解析：∵f′(x)＝－sinx－1＜0，∴f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.答案：D2．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为()A．(0,1)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，0)，(1，＋∞)解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)0，得0x1，故f(x)的单调递减区间为(0,1)．答案：A返回3．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)解析：因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x1时，f′(x)＝k－1x≥0恒成立，即k≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x1，所以01x1，所以k≥1.答案：D返回(三)填一填4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为________．解析：f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.令f′(x)0，解得x2.故所求单调递增区间为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上单调递减，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤3.答案：[－3，3]返回课堂讲练区返回考点一利用导数研究函数的单调性返回[典例]已知函数f(x)＝lnx＋1ax－1a(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．[解]f′(x)＝ax－1ax2(x0)，①当a0时，f′(x)0恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a0时，由f′(x)＝ax－1ax20，得x1a；由f′(x)＝ax－1ax20，得0x1a，∴函数f(x)在1a，＋∞上单调递增，在0，1a上单调递减．综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a0时，函数f(x)在1a，＋∞上单调递增，在0，1a上单调递减．返回[解题技法]讨论函数f(x)单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．[提醒]研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．返回[题组训练]1．函数f(x)＝ex－1x＋1在定义域内为________函数(填“增”或“减”)．解析：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x≠－1}．∵f(x)＝ex－1x＋1，∴f′(x)＝ex＋1x＋120.∴f(x)在定义域内为增函数．答案：增返回2．已知函数f(x)＝alnx＋x2(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝alnx＋x2，所以f′(x)＝ax＋2x＝2x2＋ax.①当a0时，f′(x)0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a0时，令f′(x)＝0，解得x＝－a2(负值舍去)，当0x－a2时，f′(x)0，所以函数f(x)在0，－a2上单调递减；当x－a2时，f′(x)0，所以函数f(x)在－a2，＋∞上单调递增．综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a0时，函数f(x)在0，－a2上单调递减，在－a2，＋∞上单调递增．返回考点二利用导数求函数的单调区间返回[典例](2018·湘东五校联考节选)已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．当x1时，求f(x)的单调区间．[解]f′(x)＝1x·x＋lnx－k－1＝lnx－k，①当k≤0时，因为x1，所以f′(x)＝lnx－k0，所以函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间．②当k0时，令lnx－k＝0，解得x＝ek，当1xek时，f′(x)0；当xek时，f′(x)0.所以函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．综上所述，当k≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间；当k0时，函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．返回[解题技法]利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)0或f′(x)0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．[提醒]若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．返回[题组训练]1．若幂函数f(x)的图象过点22，12，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为()A．(－∞，0)B．(－∞，－2)C．(－2，－1)D．(－2,0)解析：设幂函数f(x)＝xα，因为图象过点22，12，所以12＝22α，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)0，得－2x0，故函数g(x)的单调递减区间为(－2,0)．答案：D返回2．已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－lnx－32(x0)，则f′(x)＝x2－4x－54x2，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，所以舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)0，故f(x)在(0,5)内单调递减；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(5，＋∞)内单调递增．故f(x)的单调递减区间是(0,5)，单调递增区间是(5，＋∞)．返回考点三函数单调性的应用返回[典例]设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．[解](1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得f0＝1，f′0＝0，即c＝1，b＝0.(2)由(1)知f(x)＝13x3－a2x2＋1，则g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋20成立，即x∈(－2，－1)时，ax＋2xmax＝－22，当且仅当x＝2x，即x＝－2时等号成立．所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－22)．返回[变透练清]1.[变条件]本例(2)变为：若g(x)在(－2，－1)内为减函数，其他条件不变，求实数a的取值范围．解：∵g′(x)＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)内为减函数，∴x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，∴g′－2≤0，g′－1≤0，即4＋2a＋2≤0，1＋a＋2≤0，解得a≤－3.即实数a的取值范围是(－∞，－3]．2.[变条件]本例(2)变为：若g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，其他条件不变，求实数a的值．解：∵g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根，∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.返回3.[变条件]本例(2)变为：若g(x)在(－2，－1)内不单调，其他条件不变，求实数a的取值范围．解：由1知g(x)在(－2，－1)内为减函数时，实数a的取值范围是(－∞，－3]．若g(x)在(－2，－1)内为增函数，则a≥x＋2x在(－2，－1)内恒成立，又∵y＝x＋2x在(－2，－2)内单调递增，在(－2，－1)内单调递减，∴y＝x＋2x的值域为(－3，－22)，∴实数a的取值范围是[－22，＋∞)，∴函数g(x)在(－2，－1)内单调时，a的取值范围是(－∞，－3]∪[－22，＋∞)，故g(x)在(－2，－1)上不单调时，实数a的取值范围是(－3，－22)．返回[解题技法]由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)0(或f′(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．返回“课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（十七）”(单击进入电子文档)