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东华理工大学数学建模一周论文企业证券投资规划姓名：李楚楚学号：201220460209专业：信息管理与信息系统班级：1224602指导教师：乐励华2014年1月4日1一、摘要近些年，证券投资为社会提供了筹集资金的重要渠道，对国民经济的持续高效、发展具有重要意义。本文针对目前流行的各种不同的证券发行方案，建立线性规划模型，得出最佳的证券组合投资方案。问题（1）：规划投资1000万元投资在满足题目给出的各限制范围内，目标函数为“最大收益”，建立一个线性规划模型符合题目给出的约束条件的折中模型，用Lingo求解得出了最大收益为29.83636万元，各种证券的具体投资方案见表二。问题（2）：假设能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，在相同的约束条件下，仍然建立线性规划模型，采用Lingo求解，得出最大收益为32.82000万元，投资方案见表三。问题（3）：在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，仍然建立线性规划模型，通过Lingo解得最大收益为30.27273万元，相对问题（1）增加了，投资方案见表四；若证券C的税前收益减少为4.8%，用同样的方法求出最大收益为29.42400万元，相对问题（1）减少了，投资方案见表五。模型的优点是给出了快速计算投资分配的方法，计算方便、灵活。但是也存在不可避免的缺点在解决各问题时，都是假设在各种证券的信用等级、到期年限、税前收益不变的基础上建立数学模型的，并且实际的市场变化无常，纳税税率也会有所波动。2二、关键词证券投资、线性规划、投资风险、Lingo求解软件三、问题的重述证券投资目的:旨在降低风险、获得收益、补充资产流动性。收益和风险是并存的，通常收益越高，风险越大。投资者只能在收益和风险之间加以权衡，合理投资。为了实现证券投资的有效组合（降低风险和收益最大化），投资者要有正确科学的投资决策。某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、到期税前收益如表一所示：表一投资哪一种证券都是任意的，其中市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。另外还受到三个条件约束：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。在投资时根据给出的已知条件进行决策，在不亏损的情况下，保证收益最大。问题：（1）、假如该经理有1000万元资金，在给出的约束条件下，应如何选择购进证券种类，才能使得收益最大？（2）、如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，在其他条件不变的情况下及问题1的基础上，又怎样支配资金投放？（3）、在有1000万元资金情况下：A：若证券A的税前收益增加为4.5%，其他证券税前收益不改变的情况下，要使得收益最大，该经理如何投资？B：若证券C的税前收益减少为4.8%，其他证券税前收益不改变的情况下，要使得收益最大，该经理又如何投资？3四、模型的假设，符号约定1、模型的假设（1）、信用等级可以视为风险的一种情况。（2）、假设在有价证券到期前，该经理不会中断投资。（3）、假设在投资过程中，可供购买的各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益固定不变，以及其纳税税率不变。（4）、假设借款利率在证券到期前没有波动。2、、符号约定mi:第i种证券的投资金额（万元）（i=1,2,2,3,4,5）；si:第i种证券的到期税前收益（%）（i=1,2,3,4,5）；xi:第i种证券的信用等级（i=1,2,3,4,5）;yi：第i种证券的到期年限（i=1,2,3,4,5）；ti:第i种证券需交纳的税率（%）（i=1,2,3,4,5）；Z：证券到期时获得的总收益；五、模型的建立与求解1.问题（1）的求解该经理拥有1000万资金用来本次投资，在以上的约束条件下求出最大收益。在符合约束条件的情况下，投资方案有很多种，应该从中选出收益最大的方案。在这些证券种类当中，信用等级、到期年限、税前收益不尽相同：x1、x2、x3、x4、x5对应证券A、B、C、D、E的信用等级，y1、y2、y3、y4、y5对应证券A、B、C、D、E的到期年限，s1、s2、s3、s4、s5对应证券A、B、C、D、E的税前收益，具体数据见表一。由已知条件可以建立折中模型：目标函数：max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;约束条件：总投资金额：m1+m2+m3+m4+m5=1000;平均信用等级：(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=1.4;平均到期年限：(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=5;政府及代办机构证券购买量：m2+m3+m4=400;各项投资金额：m1=0;m2=0;m3=0;m4=0;m5=0;用Lingo软件进行求解可以得到m1=218.1818,m2=0,m3=736.3636,m4=0,m5=45.45455,总收益Z=29.83636。在以上结果中可以确定，在符合约束条4件下，投资的最大收益为29.83636万元，证券B和证券D的投资额都为零，证券C的投资额最大，为736.3636万元，证券A为218.1818万元，证券E为45.45455万元。结果见表二。2.问题（2）的求解这个问题的解题方法与问题一的解题方法相似，使用折中法进行求解。该问题中，经理可以以2.75%的利率接到不超过100万元的资金，极限地假设经理借了一百万元，则经理的可用资金就是1100万元，用这些资金在符合约束条件下进行投资，我们可以建立一个最优解的数学模型：目标函数：max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;约束条件：总投资金额：m1+m2+m3+m4+m5=1100;平均信用等级：(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=1.4;平均到期年限：(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=5;政府及代办机构证券购买量：m2+m3+m4=400;各项投资金额：m1=0;m2=0;m3=0;m4=0;m5=0;使用Lingo软件进行求解得到：m1=240，m2=0，m3=810，m4=0，m5=50，总收益Z=32.82，可以看出在增加100万元的前提下，投资后的总收益比问题一增加了2.98364万元，而借贷需要偿还的利息为2.75万元，即借贷后所获得的最后收益有所增加，所以可以确定该经理应该借这100万元。结果见表三。3.问题（3）的求解A：第一小问与第一个问题解法相同只是证券A的税前收益增加到4.5%，其他的约束条件不变，建立一个折中模型：目标函数：max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;约束条件：总投资金额：m1+m2+m3+m4+m5=1100;平均信用等级：(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=1.4;平均到期年限：(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=5;政府及代办机构证券购买量：m2+m3+m4=400;各项投资金额：m1=0;m2=0;m3=0;m4=0;m5=0;用Lingo软件求解得：m1=218.1818，m2=0，m3=736.3636，m4=0，m5=45.45455，总收益Z=30.27273，与问题一的结果进行比较，得出这个小问中对各个证券的投资跟问题一的方案一样，而且收益有所增加。结果见表四。B:第二小问中的C证券的税前收益减少了4.8%，其解法与第一小问的解法也相同，建立一个折中模型：目标函数：5max=s1*m1*（1-t1）+s2*m2*（1-t2）+s3*m3*（1-t3）+s4*m4*（1-t4）+s5*m5*（1-t5）;约束条件：总投资金额：m1+m2+m3+m4+m5=1100;平均信用等级：(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=1.4;平均到期年限：(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=5;政府及代办机构证券购买量：m2+m3+m4=400;各项投资金额：m1=0;m2=0;m3=0;m4=0;m5=0;使用Lingo求解得到：m1=336，m2=0，m3=0，m4=648，m5=16，总收益Z=29.424。分析这个结果和问题一的结果可以看出，由于C证券的税前收益减少了0.2%，该证券的投资金额从问题一的最多变为零，对D证券的投资金额变为最多，对其他证券的投资金额都各有所改变，总的收益也减少了0.41236万元。结果见表五。七、模型的求解结果表二证券类型M1M2M3M4M5投资数量/万元218.18180.000000736.36360.00000045.45455总收益/万元29.83636表三证券类型M1M2M3M4M5投资数量/万元2400.0000008100.00000050总收益/万元32.820006表四证券类型M1M2M3M4M5投资数量/万元218.18180.000000736.36360.00000045.45456总收益/万元30.27273表五证券类型M1M2M3M4M5投资数量/万元0.0000000.000000536.4900463.51000.000000总收益/万元23.60947八、模型结果分析1、优点直接采用程序进行计算，得出优化决策方案，解决问题的模型都是比较简单的，不影响得到结果的准确性，因为这些简单的模型都有很强的理论依据。通过利用数学工具和Lingo编程的方法，严格的对模型求解，具有科学性，采用线性规划模型，将多目标规划转化为单目标规划，选取了风险上限值来决定收益。模型给出了快速计算投资分配的方法，计算方便、灵活。建立的模型能与实际较紧密联系，结合实际情况对所提出的问题进行求解，是模型更贴近实际，通用性较强。2、缺点对于不同的金额，得到的结果不具有代表性，我们建立的模型中采用的只是一个特列，具有单一性。一些数据中，我们对数据进行必要的处理时，如取整数据、舍去数据等，这些方法都会带来一定的误差。在解决各问题时，都是假设在各种证券的信用等级、到期年限、税前收益不变的基础上建立数学模型的，但是实际的市场变化无常，纳税税率也会有所波动。7九、参考文献[1]、叶其孝等《数学建模》北京，机械工业出版社，2005[2]、冯杰黄力伟等《数学建模原理与案例》北京，科学出版社，2007[3]、李志林欧宜贵《数学建模及典型案例分析》北京，化学工业出版社，2006十、附录mode1.max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;s1=0.043;s2=0.027;s3=0.025;s4=0.022;s5=0.045;m1+m2+m3+m4+m5=1000;(x1*m1+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=1.4;x1=2;x2=2;x3=1;x4=1;x5=5;(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(m1+m2+m3+m4+m5)=5;y1=9;y2=15;y3=4;y4=3;y5=2;m2+m3+m4=400;m1=0;m2=0;m3=0;m4=0;m5=0;mode2.max=s1*m1+s2*m2+s3*m3+s4*m4+s5*m5;s1