固体物理复习题答案完整版

一·简答题1.晶格常数为a的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。（答案参考教材P7－8）（1）体心立方基矢：123()2()2()2aijkaijkaijk，体积：312a，最近邻格点数：8（2）面心立方基矢：123()2()2()2aijajkaki，体积：314a，最近邻格点数：122.习题1.5、证明倒格子矢量112233Ghbhbhb垂直于密勒指数为123()hhh的晶面系。证明：因为33121323,aaaaCACBhhhh，112233Ghbhbhb利用2ijijab，容易证明12312300hhhhhhGCAGCB所以，倒格子矢量112233Ghbhbhb垂直于密勒指数为123()hhh的晶面系。3.习题1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)hkl的晶面系，面间距d满足：22222()dahkl，其中a为立方边长；解：简单立方晶格：123aaa，123,,aaiaajaak由倒格子基矢的定义：2311232aabaaa，3121232aabaaa，1231232aabaaa倒格子基矢：123222,,bibjbkaaa倒格子矢量：123Ghbkblb，222Ghikjlkaaa晶面族()hkl的面间距：2dG2221()()()hklaaa4.习题1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。解：(111)（1）、(111)面与(100)面的交线的AB，AB平移，A与O点重合，B点位矢：BRajak，(111)面与(100)面的交线的晶向ABajak，晶向指数[011]。（2）、(111)面与(110)面的交线的AB，将AB平移，A与原点O重合，B点位矢：BRaiaj，(111)面与(110)面的交线的晶向ABaiaj，晶向指数[110]。5.固体中基本结合类型有哪些？原子之间的排斥作用取决于什么原因？（1）基本类型：离子性结合，共价结合，金属性结合和范德瓦尔结合四种基本形式（2）相邻的原子靠得很近,以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时,相邻的原子间便产生巨大排斥力.也就是说,原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.（答案参考教材P49）6.什么是声子？声子就是指格波的量子，它的能量等于q。在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动。晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以激发，也可以湮灭。（答案参考教材P92）7.对于一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W－K示意图，并说明光学模式和声学模式所反映的物理意义。（答案参考教材P95－97）解：（1）一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W－K示意图如下上面线条表示光学波，下面线条表示声学波。（2）当波矢q很小时，w与q的关系类似于声波，此格波也可用超声波来激发，因此称为声学波，而离子晶体中的频率为w的格波可以用光波来激发，而且晶体有的光学性质与这一支波有关，故称为光学波。8.试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。导体：除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带;绝缘体：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各能带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电；半导体：由于存在一定的杂质，使能带填充情况有所改变，使导带中有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性，即使半导体中不存在任何杂质，也会由于热激发使少数电子由满带热激发到导带底产生本征导电.(答案参考教材P250－254)9.请问德拜模型的基本假设是什么？基本假设：以连续介质的弹性波来代表格波，晶体就是弹性介质，徳拜也就是把晶格当做弹性介质来处理的。（答案参考教材P126－129）10.晶体由N个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达式态密度：2_233()2VgC，频率表达式：_21/3[6()]mNCV答案参考教材P127－12911.简述Bloch定理,该定理必须采取什么边界条件？（答案参考教材P154－157）（1）当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：()()nikRrRer，其中k为一矢量，此式就是布洛赫定理。它表明：当平移晶格矢量nR时，波函数只增加了位相因子nikRe。（2）边界条件：11()()rrN其中1N，2N，3N为沿1，2，3方向的原胞数，总的原胞N=1N?2N?3N。二、证明or计算题1.已知某晶体中相距为r的相邻原子的相互作用势能可表示为：()mnUrrr，其中、、mn都是0的常数，求：a)平衡时两原子间的距离；b)平衡时结合能；思路参考教材P53－54解：（1）求平衡间距r0由0)(0rrdrrdu，有：结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示）（2）求结合能w（单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即minU即：00011()()22mnWUrrr（可代入r0值，也可不代入）2.已知N个质量为m，间距为a的相同原子组成的一维原子链，(1)推导其色散关系(2)试绘出整个布里渊区内的色散关系，并说明截止频率的意义。?(3)试求出它的格波态密度函数g(ω)，并作图表示。解：（1）1111()()(2)nnnnnnnnm设方程的解[]itnaqnAe,代回方程中得到：22241[1cos]sin()2aqaqmm，2sin2aqm（2），截止频率范围以外的q值并不能提供其他不同的波，q的取值范围称为布里渊区。（3）2_233()2VgC，代入即可得出。答案参考教材P82－87习题4-3.电子在周期场中的势能函数bnaxbanbnaxbnanaxbmxV1,0,21222当当其中ba4，为常数，(1)画出此势能曲线，并求其平均值；(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个以及第二个禁带的宽带。解：(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见，()Vx是个以a为周期的周期函数，所以题设4ab，故积分上限应为3abb，但由于在,3bb区间内()0Vx，故只需在,bb区间内积分．这时，0n，于是2222232111()()2236bbbbbbbbmmVVxdxbxdxbxxmbaaa。（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数利用积分公式2232cossin2cossinuumudumumumumumm得22316mb1gE第二个禁带宽度222,2gEVm以代入上式,代入上式22220()cosbgmxEbxdxbb再次利用积分公式有2222mb2gE4-3用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s态原子能级对应的能带的k函数。解：（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：在面心立方中，有12个最近邻，若取0mR，则这12个最近邻的坐标是：①(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0)2222aaaa②(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1)2222aaaa③(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1)2222aaaa由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此()SJR有相同的值，简单表示为J1=()SJR。又由于s态波函数为偶宇称，即()()ssrr∴在近邻重叠积分*()()()()()sissiJRRUVRd中，波函数的贡献为正∴J1＞0。于是，把近邻格矢SR代入()sSER表达式得到：=()()()()222201xyxyxyxyaaaaikkikkikkikkSJJeeee()()()()2222yzyzyzyzaaaaikkikkikkikkeeee+()()()()2222xzxzxzxzaaaaikkikkikkikkeeee=012cos()cos()cos()cos()2222SxyxyyzyzaaaaJJkkkkkkkk=014coscoscoscoscoscos222222sxyyzzxaaaaaaJJkkkkkk（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：习题5-1.晶格常数为α的一维晶体电子能量试求：(1)能带宽度；(2)波矢为k的电子速度；(3)能带底部和顶部的电子有效质量解：（1）2271()(coscos2)88Ekkakama=22ma78－coska+18(2cos2ka－1)]＝224ma(coska－2)2－1当ka＝(2n+1)时,n=0,1,2…2max22()Ekma当ka=2n时,min()0Ek能带宽度＝2maxmin22EEma（2）1()1(sinsin2)4dEkkakadkma(3)222*11(coscos2)2Ekmmkaka当0k时,带底，*2mm当ka时,带顶，*23mm习题6.2，习题6.3，习题6.4