小波变换入门

第1章连续小波变换信号处理的任务之一是认识客观世界中存在的信号的本质特征，并找出规律。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。从不同的角度去认识、分析信号有助于了解信号的本质特征。信号最初是以时间（空间）的形式来表达的。除了时间以外，频率是一种表示信号特征最重要的方式。频率的表示方法是建立在傅里叶分析（FourierAnalysis）基础之上的，由于傅里叶分析是一种全局的变换，要么完全在时间域，要么完全在频率域，因此无法表述信号的时频局部性质，而时频局部性质恰好是非平稳信号最基本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，在傅里叶分析理论基础上，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换（ShortTimeFourierTransform）或加窗傅里叶变换（WindowedFourierTransform）、Gabor变换、时频分析、小波变换、分数阶傅里叶变换（FractionalFourierTransform）、线调频小波变换等。短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，它的思想是：选择一个时频局部化的窗函数，假定分析窗函数g(t)在一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，移动窗函数，使f(t)g(t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。短时傅里叶变换窗函数受到W.Heisenberg不确定准则的限制，时频窗的面积不小于2。这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。Gabor变换是海森伯不确定准则下的最优的短时傅里叶变换。高斯窗函数是短时傅里叶变换同时追求时间分辨率与频率分辨率时的最优窗函数。具有高斯窗函数的短时傅里叶变换就是Gabor变换。与短时傅里叶变换一样，Gabor变换也是单一分辨率的。小波变换使用一个窗函数（小波函数），时频窗面积不变（为零吗？），但形状可改变。小波函数根据需要调整时间与频率分辨率，具有多分辨分析（MultiresolutionAnalysis）的特点，克服了短时傅里叶变换分析非平稳信号单一分辨率的困难。小波变换是一种时间-尺度分析方法，而且在时间、尺度（频率）两域都具有表征信号局部特征的能力，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬间反常现象并展示其成分。所以，小波变换被称为分析信号的显微镜。小波变换不会“一叶障目，不见泰山”，又可以做到“管中窥豹，略见一斑”。但是小波分析不能完全取代傅里叶分析，小波分析是傅里叶分析的发展，而小波与离散变换理论及工程实践·2·时频分析是一种非线性二次变换，与线性的小波变换相去甚远。对于几种变换的关系，将在本章后面做简单的介绍。1.1概述1.1.1傅里叶变换傅里叶（Fourier）变换与小波变换从本质上看无非是研究如何利用简单、初等的函数近似表达复杂函数（信号）的方法和手段。1777年以前，人们普遍采用多项式函数P(x)来对信号f(x)进行表征：10)()(NnnnxaxPxf。1777年，数学家Euler在研究天文学时发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。1807年，法国科学家傅里叶进一步提出周期为2π的函数f(x)可以表示为系列三角函数之和，即]sincos[2)(10kkkkxbkxaaxf（1.1）其中2π01()cosdπkafxkxx，2π01()sindπkbfxkxx。表达式（1.1）可以理解为信号f(x)是由正弦波（含余弦与正弦函数）叠加而成，其中ak，bk为叠加的权值，表示信号在不同频率时刻的谱幅值大小。显然，当信号具有对称性（偶）特征时，bk=0，01()cos2kkafxakx而当信号具有反对称性（奇）特征时，ak=0，10sin2)(kkkxbaxf在研究热传导方程的过程中，为了简化原问题，傅里叶建议将热导方程从时间域变换到频率域，为此他提出了著名的傅里叶变换的概念。信号f(x)的傅里叶变换定义为：iˆ()()ed,i1xffxxR（1.2）傅里叶变换建立了信号时域与频域之间的关系，频率是信号的物理本质之一。随着计算机技术的发展与完善，科学与工程中的所有计算问题跟计算机已经密不可分，计算机计算的一个典型特征是离散化。而式（1.2）定义的傅里叶变换本质上是一个积分计算，体现为连续化特征，同时在实际应用中信号都是通过离散化采样得到的。为了通过离散化来采样信息以及有效地利用计算机实现傅里叶变换的计算，需要对式（1.2）实现高效、高精度的离散化。为此，需要导出离散傅里叶变换（DFT）的概念。为简单计，设f(x)为[-π,π]上的有限信号，则f(x)的傅里叶变换可简化为：几第1章连续小波变换·3·πiπˆ()()edxffxx再假设采用等间距采样，其采样点数为N，输入时域信号为fk，要求输出频率信号为kfˆ。为了利用采样点fk得到尽可能符合式（1.2）的输出值kfˆ，DFT的思想是根据fk拟合出f(x)的最佳逼近多项式S(x)，然后在式（1.2）中利用S(x)代替f(x)，从而得到kfˆ。下面简要讨论)(xS与kfˆ的求法。给定一组正交基：k222{1eekkNN，，，…}ei1)-(2NNk，1,,2,1,0Nk。直接验证向量满足内积关系：,,klNklNI，其中IN为N阶单位矩阵，,1,0,klklkl设10ie1)(NkkxkcNxS，利用正交基}{kΦ求解最小二乘问题：),,(min11010NNkccccFkR,=10210)]2([minNnnNkcNnSfkR,（1.3）求解式（1.3）得到：10NnnkNnkWfc，1,,2,1,0Nk；iπ2eNNW（1.4）现在利用S(x)的定义，以及由式（1.4）得到的系数值ck来近似计算kfˆ。将式（1.4）中的系数值代入多项式函数S(x)中，并利用S(x)作为f(x)的近似，则有：11ππii()-ππ0012πˆ()ededπNNlxklxnllknNknfSxxcxfWNN（1.5）除开常数2π外，式（1.5）即为通常意义的离散傅里叶变换（DFT），其中输入fn与输出ˆlf分别为信号的时域与频域信息。特别地，如果采用其他的正交基，利用最小二乘逼近则得到各种不同意义的离散正交变换，例如，离散余弦变换（DCT，一共4种），离散正弦变换（DST，一共4种），离散Hartley变换（DHT）以及离散Walsh变换（含离散Hadmard变换）等。限于篇幅，在此不再一一介绍，有兴趣的读者可以参见其他相关文献。1.1.2短时傅里叶变换尽管傅里叶变换及其离散形式DFT已经成为信号处理，尤其是时频分析中最常用的工具，但是，傅里叶变换存在信号的时域与频域信息不能同时局部化的问题。例如，从定义式（1.2）我们看到，对于任一给定频率，根据傅里叶变换不能看出该频率发生的时间与信号的周期（如果有的话），即傅里叶变换在频率上不能局部化。同时，在傅里叶变换将信号从时域上变换到频域上时，实质上是将信息xxfie)(在整个时间轴上的叠加，其中xie起到频限的作用，因此，傅里叶变换不能够观察信号在某一时间段内的频域信息。而另一≤≤≤≤小波与离散变换理论及工程实践·4·方面，在信号处理，尤其是非平稳信号处理过程中，如音乐、地震信号等，人们经常需要对信号的局部频率以及该频率发生的时间段有所了解。由于标准傅里叶变换只在频域有局部分析的能力，而在时域内不存在局部分析的能力，故DennisGabor于1946年引入短时傅里叶变换（Short-TimeFourierTransform）。短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。图1.1（a）、图1.1（b）为短时傅里叶变换对信号分析示意图。假设对信号f(x)在时间x=τ附近内的频率感兴趣，显然一个最简洁的方法是仅取式（1.2）中定义的傅里叶变换在某个时间段Iτ内的值，即定义IxxxfIfde)(||1),(ˆi（1.6）时间窗时间幅度时间频率（a）时域加窗示意图（b）时频平面划分示意图图1.1短时傅里叶变换示意图其中|Iτ|表示区域Iτ的长度。如果定义方波函数gτ(x)为1,()0,xIIgx其他（1.7）则式（1.6）又可以表示为:xxgxffxRde)()(),(ˆi（1.8）其中R表示整个实轴。从式（1.2）、式（1.7）与式（1.8）很容易看到，为了分析信号f(x)在时刻τ的局部频域信息，式（1.6）实质上是对函数f(x)加上窗口函数gτ(x)。显然，窗口的长度|Iτ|越小，则越能够反映出信号的局部频域信息。图1.2（a）为对于参数取τ(τ=1)，窗口函数gτ(x)的图形。容易得到下面的简单性质：①Rxxg1d)(②xI，0lim()gx将函数gτ(x)与著名的“δ函数”及其性质0,0(),0xxx以及第1章连续小波变换·5·()d1xxR比较不难发现，“δ函数”δ(x)实际上可以视为函数gτ(x)的极限函数。从另外一个角度来看，窗口函数可以看作对于原信号在区域上的加权，而利用方波函数gτ(x)作为窗口函数时存在的一个明显缺陷就是在区域Iτ上平均使用权值，不符合权值应该重点位于时刻τ且距离该时刻越远和权值越小的特点。也就是权函数主值位于时刻τ，在该时刻的两端函数图像迅速衰减的特点。在满足上述特性并保持函数的光滑性质的前提下，DennisGabor于1946年提出了利用具有无穷次可微的高斯函数0,eπ21)(42aaxgaxa作为窗口函数。图1.2（b）给出了取几种不同的值时高斯函数的图像，显然高斯函数具有窗口函数所需要的性质。下面讨论高斯函数与δ函数的关系。x2I2Igx1I-5-4-3-2-101234500.20.40.60.811.21.41.6a=1/2a=1/4a=1/16a=1/32（a）窗口函数gτ(x)的图形（b）a取值不同时高斯函数的图形图1.2窗口函数与高斯函数的图形定理1.1对于高斯函数ga(x)以及可积函数1()fLR，ga(x)0且对于任意a0均是无穷次可微的，并且()d1agxxR，0lim()()d()aafxtgttfxR（1.9）对于f的所有连续点x成立。式（1.9）称之为高斯函数的卷积性质。将式（1.9）与δ函数δ(x)的卷积性质()()d()fxtttfxR进行比较，不难发现，无穷次可微高斯函数ga(x)可以作为函数δ(x)的高度近似，即在连续函数的集合C上，有ag，0a。小波与离散变换理论及工程实践·6·Gabor变换是一种特殊的短时傅里叶变换，而一般的短时傅里叶变换按照下列方式来定义。定义1.1信号f(x)的短时傅里叶变换（STFT）Gf(ω,τ)定义为：i,(,)()()ed()()dxGffxgxxfxgxxRR（1.10）其中xxgxgi,e)()(称为积分核。为了保证信号f(x)的短时傅里叶变换（STFT）Gf(ω,τ)以及逆变换有意义，一个充分必要条件为:2ˆ(),()()gxgxLR（1.11）另外，由于g(x)可以看成是对函数xxfie)(加权，因此，人们经常要求：（1）当)()