曲面的渐近方向与共轭方向曲面论(七)

微分几何教案（十五）曲面的第二基本形式：3.4—3.5283.4曲面的渐近方向与共轭方向一曲面的渐近方向定义（渐近方向）：曲面在P点使nk=0的方向（d）=du:dv叫做曲面在P点的一个渐近方向。说明（1）设曲面在P点的第二基本量为L0、M0、N0，由解析几何中二次曲线的一般理论知，（d）=du:dv是渐近方向的充要条件是L0du2+2M0dudv+N0dv2=0;(2)当LN-M20时，Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0无解，所以在椭圆点处，曲面没有渐近方向。二曲面的渐近曲线定义（渐近曲线）：曲面上的曲线，如果它每一点的切方向都是渐近方向，则称其为渐近曲线。渐近曲线的微分方程是：Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0例求曲面z=xy2上的渐近曲线。解可以求出此曲面的E=1+y4,F=2xy3,G=1+4x2y2,L=0,M=2y/D，N=2x/D.其中2222114DEGFxyy，因此渐近曲线的微分方程是：2420yxdxdydyDD。由此得dy=0和2ydx+xdy=0,积分后得渐近曲线为y=C1,x2y=C2（C1、C2为积分常数）。三曲面上渐近曲线的判定命题1曲面上的直线一定是渐近线。证明因为直线的曲率k=0，所以沿直线的方向kn=kcosθ=0,所以直线一定是曲面上的渐近线。微分几何教案（十五）曲面的第二基本形式：3.4—3.529命题2曲面上非直线的曲线是渐近线曲面的主法向量垂直于曲面在同一点的法向量曲面的副法向量平行于曲面在同一点的法向量曲面在曲线每一点的切平面是曲线在这点的密切平面。证明因为沿渐近曲线有法曲率kn=kcosθ=0，对非直线k≠0，所以cosθ=0，因此θ=π/2，而θ是曲线在一点的主法向量与曲面在同一点的法向量的夹角，所以结论成立。例如正螺面上的直母线和螺旋线都是曲面上的渐近线。每条曲线在它的主法线曲面上是渐近线。（见练习P1467,9题）。推论设两个曲面沿一条曲线相切，则这曲线如果是其中一个曲面上的渐近线，那么它也是另一个曲面上的渐近线。四渐近网定义（渐近网）如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近线，这两族渐近线构成的曲线网叫做曲面上的渐近网。可知：渐近网的方程是：Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0如正螺面、单叶双曲面、双叶抛物面上都有渐近网。命题3曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充分必要条件是L=N=0。证明渐近网的方程是：Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0，曲纹坐标网的方程是：dudv=0即du=0和dv=0。“”若L=N=0，将其代入渐近网的方程得dudv=0（注：在双曲点M≠0）,故渐近网即是曲纹坐标网。微分几何教案（十五）曲面的第二基本形式：3.4—3.530“”若du=0和dv=0是渐近网，将其分别代入渐近网的微分方程得L=N=0。例由该命题可证，正螺面r={ucosv,usinv,bv}的曲纹坐标网是渐近网；双曲抛物面r={a(u+v),b(u-v),2uv}的曲纹坐标网（实际是直母线网）也是渐近网。五共轭方向定义（共轭方向）：设曲面上P点处的两个方向（d）=du:dv和（δ）=δu:δv，如果沿这两个方向的直线是曲面在P点的杜邦指标线的一对共轭直径，则方向（d）与（δ）称为曲面在P点的一对共轭方向。结论：设曲面在P点的第二基本量为L0、M0、N0，则（d）=du:dv和（δ）=δu:δv共轭的充要条件是L0duδu+M0(duδv+dvδu)+N0dvδv=0或dn•r=0或δr•dn=0。证明由解析几何二次曲线的一般理论可知。注当（d）=（δ）时，由共轭方向的条件可知，共轭方向（d）变为渐近方向。所以渐近方向是自共轭方向。六共轭网定义（共轭网）：给定曲面上的两族曲线，如果过曲面上每一点，此两族曲线中的两条曲线的切向都是共轭方向，则两族曲线称为曲面上共轭网。微分几何教案（十五）曲面的第二基本形式：3.4—3.531定理如果一族曲线的方程为Adu+Bdv=0,则与其共轭的曲线族的微分方程是：0LMMNuvABAB。证明设（d=du:dv和（δ=δu:δv共轭，由共轭方向的条件知：Lduδu+M(duδv+dvδu)+Ndvδv=0，又du，dv满足Adu+Bdv=0，由这两式消去du，dv得，即0LMMNuvABAB。特别地，对u-线：dv=0，则它的共轭曲线族的微分方程是Lδu+Mδv=0；要使这族曲线为v-线：δu=0，充要条件为M=0。于是得：命题4曲面上的曲纹坐标网是共轭网的充分必要条件是M=0。例如球面、椭圆抛物面z=a(x2+y2)的坐标网都是共轭网。习题：P1147,9,10微分几何教案（十五）曲面的第二基本形式：3.4—3.5323.5曲面的主方向和曲率线一曲面的主方向定义（主方向）：曲面上一点P的两个方向，如果它们既正交又共轭，则称为曲面在P点的主方向。结论1曲面上一点P的一个方向du:dv是主方向的充要条件是220dvdudvduEFGLMN。证明：设（d）=du:dv是主方向，则存在另一个方向（δ）=δu:δv使（d）与（δ）既正交又共轭。（d）与()正交dr•δr=0Eduδu+F(duδv+dvδu)+Gdvδv=0①（d）与()共轭dn•r=0Lduδu+M(duδv+dvδu)+Ndvδv=0②（d）=du:dv是主方向①②关于δu、δv有非零解0EduFdvFduGdvLduMdvMduNdv即220dvdudvduEFGLMN。结论2曲面上每一点处至少有两个主方向。证明曲面上主方向满足的条件即(EM-FL)du2+(EN-GL)dudv+(FN-GM)dv2=0③微分几何教案（十五）曲面的第二基本形式：3.4—3.533其判别式Δ=[(EN-GL)-2FE(EM-FL)]2+224()EGFE(EM-FL)2≥0。Δ0时，方程③总有两个不相等的实根，故曲面总有两个主方向。这两个主方向实际是曲面在这一点的杜邦指标线的主轴方向。Δ=0EN-GL=EM-FL=0EFGLMN。这时③是恒等式。故任何方向满足③，故任何方向是主方向。定义（脐点，圆点，平点）：曲面上使EFGLMN的点叫做曲面的脐点。L、M、N不全为零的脐点叫做圆点，L=M=N=0的点叫做平点。容易证明，球面上的点都是圆点，平面上的点都是平点。二主方向的判定定理罗德里格（Rodrigues）定理：（d）是主方向dndr。其中nk，nk是曲面沿（d）的法曲率。证明“”设（δ）是垂直于（d）另一个主方向，由ndn=0可知，dn也在切平面上。所以dn与（δ）和（d）共面，可设dn=λdr+µr，将该式两边点乘r得：dn•r=λdr•r+µr•r。因（δ）与（d）共轭，所以dn•r=0，因（δ）与（d）正交，所以dr•r=0，所以µr•r=0，所以µ=0，所以dn=λdr。“”设方向（d）满足dn=λdr，下面要证dr是主方向。设（δ）是垂直于（d）的一个方向，把dn=λdr两边点乘r得dn•r=0，这表明（δ）与（d）是共轭的。即（δ）与（d）不仅正交，而且共轭，所以它们都是主方向。把dn=λdr两边点乘dr得dn•dr=λdr2，所以λ微分几何教案（十五）曲面的第二基本形式：3.4—3.534=2ndndrkdr。证毕。三曲率线定义（曲率线）：曲面上的曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称其为曲率线。曲率线的微分方程：由主方向满足的充要条件知曲率线的微分方程是：220dvdudvduEFGLMN四曲率网曲率线的微分方程确定了曲面上的两族曲率线，它们构成的曲线网叫做曲面上的曲率网。结论在不含脐点的曲面片上，经过参数的选择，可使曲率线网成为曲面的曲纹坐标网。证明因为曲面不含脐点，所以曲率线的微分方程的判别式Δ0，所以由曲率线的微分方程分解因式可得两族曲率线的方程：110AduBdv和220AduBdv，设1du（11AduBdv），2dv（22AduBdv），（其中12,为积分因子）。因在曲面上每一点，两个主方向垂直，所以曲率线彼此不相切，所以行列式11220ABAB。即12(,)(,)uvuv11220ABAB。引进,uv为新的参数，则曲率线网110AduBdv，220AduBdv成为新的曲纹坐标网。说明实际上，从证明可看出，任何一个正规曲线网都可选为坐标微分几何教案（十五）曲面的第二基本形式：3.4—3.535网。命题5曲面上的曲纹坐标网是曲率线网F=M=0.证明因为曲纹坐标网是正交网F=0，曲纹坐标网是共轭网M=0。例3在旋转曲面{()cos,()sin,()}rttt上子午线和平行圆构成曲率线网。证明在前面曾经说明旋转曲面的曲纹坐标网是由子午线和平行圆构成。计算可得F=M=0，所以曲纹坐标网即子午线和平行圆构成曲率线网。例5球面上每一点是圆点，平面上每一点是平点，因此球面上和平面上每一条曲线是曲率线。证明对球面计算可知EFGLMN，对平面计算可知L=M=N=0。所以两曲面上每一条曲线其上切方向都满足曲率线的微分方程，故为曲率线。习题：P11411,14