鲈鱼数学建模实验报告

数学建模实验报告姓名：胡斌学号：09015120一、摘要题目提供了哈德逊河鲈鱼的年龄分组、成年鱼的年龄、允许捕捞鱼的年龄段、各年龄段的鱼的存活率以及各组成年雌性鱼每年能产雌性后代的个数。题目初始数据是1970年各年龄组的鱼的数量。根据题目要求利用Leslie模型进行建模，找出鱼群总数的变化趋势。以及在条件变化影响出生率和存活率的情况下的鱼群情况。对于模型的简化，可以将存活率相同年龄组的鱼合并，将产雌性鱼的个数累加。二、问题重述著名哈德逊河的鲈鱼生活在大西洋,但是每年游到哈德逊河产卵。由于哈德逊河流域工业的发展引起重大的污染,使得河水温度升高,影响了产卵率和成活率。为了了解工业污染对鲈鱼的影响,将鲈鱼分成16个年龄组:0~1年(卵)，1~2年(游鱼)，2龄鱼，3龄鱼，…，15龄鱼.已知5~15年龄的鱼为成年鱼，允许捕捞3~15年龄的鱼.考虑自然死亡及捕捞等原因，得各年龄组的成活率及每个雌性个体所产雌性后代的统计资料如下：年龄组012345672.12*10^-50.39650.60000.80000.63870.56880.56880.56880000080110162700212700年龄组891011121314150.56880.56880.56880.56880.56880.56880.56880.5688267900326400386000444500499700549600592200592200已知1970年各年龄组的鱼数(单位：千条)为X(0)=（）（1）在所给条件下，求L矩阵的模最大特征值及稳定的年龄分布.（2）假设生态条件不变，讨论何时鲈鱼达到稳定的年龄分布(精确到小数点后2位)（3）假设由于工业污染使卵的成活率降低25%，幼鱼的成活率降低15%，成年鱼的成活率降低10%，对鲈鱼年龄分布结构进行特征分析，并预测种群的发展趋势：经过几年后，可捕捞的鱼数减半.（4）能否将模型简化？对简化的模型进行特征值分析，并讨论达到稳定的年龄分布的时间.将所得结果与(1)，(2)进行比较。三、模型假设1.将时间离散化，假设雌雄鱼数目的性别为1：12.各年的出生率和存活率不变3.不考虑生存空间等自然资源的制约，不考虑意外灾难等因素对鱼数目变化的影响四、分析与建立模型由题目给的初始条件，即1970年初始鱼数目的矩阵，以及各年龄段与的出生率和死亡率，并且只考虑了雌性鱼的数目发展变化，我们可以知道，各年龄段的鱼的数目是相互影响的，并且可以用Leslie建立模型。我们假设第K年总的鱼数目为X(k)，第K年第m年龄组的鱼的数目为(k).根据以上分析我们可得到方程X(k)=（(k)，(k)，(k)，…，(k)）(k+)=∑15𝑖=𝑖(k)𝑖(k+)=𝑖1(k)，i=1，2，…，15写成矩阵形式为(k+)=Ln(k)，其中，L=000000⋮⋱⋱⋱⋮000即L=0000080110162700212700267900326400386004445004997005496005922005922002.12*10^-50000000000000000.39650000000000000000.60000000000000000000.80000000000000000000.63870000000000000000.56880000000000000000.56880000000000000000.56880000000000000000.56880000000000000000.56880000000000000000.56880000000000000000.56880000000000000000.568800000000000000000.5688记X(0)=（()，()，x()，…，()）X(0)=（）L矩阵的正特征根是唯一的、单重的，若记之为，则其对应的一个特征向量为=（，，…，…）且满足，对于任意矩阵L的特征根1，必有|1|≤.当k趋近于无穷时，()=c,其中，c是与X(0)有关的常数.即当k充分大时，有X(k)≈c.记𝑖=…，q(λ)=+2+…+6，则λ是L的非零特征根的充分必要条件为q(λ)=1,所以当时间充分大时，雌性鱼的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定状态，而各个年龄组的鱼的数目按照的比例的增长，所以有如下结论（1）当＞1时，鱼数目最终是递增的.（2）当＜1时，鱼数目最终是递减的.（3）当=1时，鱼数目是稳定的.当由于工业污染的影响，使不同年龄组的鱼的成活率降低的时候，只需要改变相应的和的大小，使用同样的模型进行求解。五、模型求解（1）利用matlab中的eig函数求矩阵的特征值，从特征值中选取最大的即为矩阵的最大特征值.在matlab中输入如下指令则再命令执行框得到如下结果从结果中我们可以得到最大的特征值=0.9989由此可以得到=（，，…，…）经过计算，稳定的各年龄组的鱼的个数的比为：1：（5）：（）：（）：（）：（）：（）：()：()：():()：():():():():()(2)根据题目要求的精度为小数点后两位，可以知道即要找出k值满足()()--()()-=0.01利用matlab写出如下代码：运行后接到结果所以最后求得k为666510，即经过666510年后达到稳定的年龄分布。(3)在环境改变时，相应的矩阵也发生了变化，则新矩阵=0000080110162700212700267900326400386004445004997005496005922005922001.59*10^-50000000000000000.3370250000000000000000.51000000000000000000.68000000000000000000.5428950000000000000000.511920000000000000000.511920000000000000000.511920000000000000000.511920000000000000000.511920000000000000000.511920000000000000000.511920000000000000000.5119200000000000000000.51192利用matlab中的eig函数求矩阵的特征值，从特征值中选取最大的即为矩阵的最大特征值.在matlab中输入如下指令运行结果如下从结果中我们可以得到最大的特征值=0.9989所以鱼群的数目最终是减少的，并且是按照-1=-0.1331变化的。由特征值计算出特征向量：=（，，…，…）经过计算，稳定的各年龄组的鱼的个数的比为：1：(2.4455*10^-5):(1.1185*10^-5):(7.7415*10^-6):(7.1440*10^-6):(5.2635*10^-6):(3.4535*10^-6):(2.2660*10^-6):(1.4868*10^-6):(9.7552*10^-7):(6.4007*10^-7):(4.1997*10^-7):(2.7555*10^-7):(1.8080*10^-7):(1.1863*10^-7):(7.7836*10^-8)利用matlab编程序进行迭代，找到可捕捞鱼数减半的年数，其中可捕捞鱼数为3-15龄鱼，所以要取向量的第4到16行进行比较程序如下（见untitled2.m）运行结果如下即8年后可捕捞的鱼数减半(4)对模型简化，因为考虑到14和15龄鱼的成活率和每条雌鱼产雌性小鱼相等，所以可以考虑将14和15龄鱼的情况进行合并，为了不影响所有成年鱼对产雌性小鱼的影响，将13龄鱼的存活率变为0.5688+0.5688*0.5688，由此可以将矩阵的维度减小，则新的矩阵为=0000080110162700212700267900326400386004445004997005496005922002.12*10^-5000000000000000.3965000000000000000.6000000000000000000.8000000000000000000.6387000000000000000.5688000000000000000.5688000000000000000.5688000000000000000.5688000000000000000.5688000000000000000.5688000000000000000.8923000000000000000.56880、同样利用matlab求解矩阵的最大特征值程序如下：运行结果如下所以矩阵的最大特征值=0.9999则=(5)则到达稳定年龄结果的k满足()()--()()-=0.01六、模型检验由上述的解答可知，利用本题中的模型达到稳定的时间为666510年后，为了验证其正确性，我们将按照迭代的方式求出800000年后鱼群的分布，与通过本例算出来的特征向量,也就是稳定的鱼群分布进行比较。利用matlab写下如下代码运行的结果如下从结果中我们知道，800000年后鱼群的分布与用此模型算出来的鱼群分布一致，即可验证此模型的正确性。七、模型推广