西北工业大学高数(上)期中考试试题及答案

诚信保证本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。本人签字：编号：西北工业大学考试试题（卷）2005-2006学年第一学期期中开课学院理学院课程高等数学(上)学时90考试日期2005/11/17考试时间2小时考试形式（闭）（A）卷一、填空题(每小题4分,共32分)答案写在答题纸上,写在题后无效1.设1lim()3xgx,1lim()3xhx,且()()()gxfxhx,则21lim[34()]xxfx.2.1lim(39)xxxx.3.已知0sinlim(cos)5xxxxbea,则a,b.4.设(2)cosnyxx,则2()nxy.5.若2d11()dfxxx,则()fx.6.设函数()yyx由方程lnlnyxxy确定,则22(,)deey.7.设函数1()(1)xfxx,则(1)f.8.设周期函数()fx在(,)内可导,周期为4,又0(1)(1)lim12xffxx,则曲线()yfx在点(5,(5))f处的切线斜率为.注：1.命题纸上一般不留答题位置，试题请用小四、宋体打印且不出框。2.命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。共7页第1页成绩西北工业大学命题专用纸二、选择题(每小题4分,共32分)答案写在答题纸上,写在题后无效1.下列结论正确的是()(A).有界数列必定收敛;(B).无界数列必定发散;(C).发散数列必定无界;(D).单调数列必有极限.2.设函数11()1xxfxe,则()(A).0x,1x都是()fx的第一类间断点;(B).0x,1x都是()fx的第二类间断点;(C).0x是()fx的第一类间断点,1x是()fx的第二类间断点;(D).0x是()fx的第二类间断点,1x是()fx的第一类间断点.3.0()2fx,0xxx,000()()()fxfxxfx,则当0x时,0()fx比0d()fx是()(A).高阶无穷小;(B).同阶无穷小,但不是等价无穷小;(C).等价无穷小;(D).低阶无穷小.4.(0)0f,220()limxfxx存在是()fx在0x处可导的()(A).充分必要条件;(B).必要非充分条件;(C).充分非必要条件;(D).既非充分又非必要条件.5.下图给出了()fx的图形,设有以下结论:①.(2,4)(6,9)是()fx的单调区间;②.(1,3)(5,7)(6,8)是()fx的单调区间;③.1x,3x,5x,7x是()fx的极值点;④.1x,3x,5x,7x是曲线()yfx的拐点横坐标.则以上结论正确的是()(A).①、②;(B).②、③;(C).③、④;(D).①、④.教务处印制共7页第2页y123456789Ox西北工业大学命题专用纸6．设0a,则方程lnxaxe的根的个数为()(A).1;(B).2;(C).3;(D).不能确定.7.设f,,为可导函数,2[()()]xyfxe,则dy()(A).22[()()][2()()()()()]xxxxfxexxexee;(B).22[()()][2()()()()()]dxxxxfxexxexeex;(C).22[()()][2()()()()]dxxfxexxxex;(D).22[()()][2()()()()]xxxfxexexe.8.()yfx为过原点的一条曲线,且(0)f,(0)f存在,又知有一条抛物线()ygx与曲线()yfx在原点相交,在该点有相同的切线和曲率,且在该点邻近此两曲线有相同的凹向,则抛物线()ygx为()(A).2(0)xf;(B).2(0)(0)xfxf;(C).21(0)(0)2fxfx;(D).21(0)(0)(0)12fxfxf.教务处印制共7页第3页答题纸考生班级学号姓名题号一二三四五六总分得分一、填空题(每小题4分,共32分)1．______________________2．______________________3．______________________4．______________________5．______________________6．______________________7．______________________8．______________________二、选择题(每小题4分,共32分)题号12345678答案三、计算(6分2=12分)1.求极限011lim()1sinxxxex;教务处印制共7页第4页答题纸2.设21,cos.xtyt求22ddyx.四、(8分)设2,0,()sin,0.xebxfxaxx(1),ab为何值时,()fx在0x处可导?(2)若另有()Fx在0x处可导,讨论[()]Ffx在0x处的可导性.教务处印制共7页第5页答题纸五、(8分)在圆弧224xy(0,0)xy上找一点,使该点的切线与圆弧及两坐标轴所围成的图形的面积最小,并求最小面积.教务处印制共7页第6页答题纸六、(8分)设()fx在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,(0)(1)0ff,122()1lim11()2xfxx,证明:(1)存在1(,1)2,使得()f;(2)对任意的R,必存在(0,),使得()[()]1ff;(3)()fx在[0,1]上的最大值大于1.高等数学05-06学年第一学期期中考试试卷评分标准一、填空题(每小题4分,共32分)1.15;2.9;3.1,4;4.2;5.12x;6.dx;7.2ln21;8.2.二、选择题(每小题4分,共32分)1.(B);2.(D);3.(C);4.(B);5.(D);6.(B);7.(B);8.(C).三、计算(6分2=12分)1.求极限011lim()1sinxxxex;解011lim()1sinxxxex0sin(1)(1)limsin(1)xxxxxexe.............................1分20sin(1)1limxxxxex..............................2分0cos(1)sinlim2xxxxxex...........................4分0sin(1)coscoslim2xxxxxxe....................5分32................................................6分2.设21,cos.xtyt求22ddyx.解2d(cos)sind(1)2yttxtt...................................2分222sin()d2d(1)tytxt.........................................4分3sincos4tttt.....................................6分四、(8分)设2,0,()sin,0.xebxfxaxx(1),ab为何值时,()fx在0x处可导?(2)若另有()Fx在0x处可导,讨论[()]Ffx在0x处的可导性.解(1)(0)1fb,20(00)lim()1xxfebb,0(00)limsin0xfax,()fx在0x处可导,则必连续,故10,b即1b...................................2分又220002(0)limlim201xxxxebefx,0sin0(0)lim0xaxfax,要使()fx在0x处可导,必有2a.......................................3分即当2a,1b时,()fx在0x处可导,且(0)2f;(2)0(())((0))((0))lim0xFfxFfFfx...................................4分0(())((0))()(0)lim()(0)0xFfxFffxffxfx........................7分00()(0)()(0)limlim(0)(0)2(0)00yxFyFfxfFfFyx........8分故[()]Ffx在0x处可导.五、(8分)在圆弧224xy(0,0)xy上找一点,使该点的切线与圆弧及两坐标轴所围成的图形的面积最小,并求最小面积.解设切点坐标为00(,)xy00(0,0)xy,切线方程为0000()xyyxxy...........................2分令0x,有04yy,令0y,有04xx,.............................3分目标函数为2884Sxyxx.............................5分由2322216(2)()0(4)xSxxx,得唯一驻点2x.............................7分由于驻点唯一,依实际意义,当002xy时,最小面积4S...........8分六、(8分)设()fx在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,(0)(1)0ff,122()1lim11()2xfxx,证明:(1)存在1(,1)2,使得()f;(2)对任意的R,必存在(0,),使得()[()]1ff;(3)()fx在[0,1]上的最大值大于1.证明(1)作()()gxfxx,...............................1分(1)(1)1010gf,又122()1lim11()2xfxx,故12lim(()1)0xfx,1()12f,故1111()()102222gf.............................................2分由于()gx在1[,1]2上连续,且1()(1)02gg,由零点定理,在1(,1)2内至少存在一点,使()0g,即()f............................3分(2)作()[()]xFxefxx,...........................4分由于()Fx在[0,]上连续,在(0,)内可导,由拉格朗日中值定理,在(0,)内至少存在一点,使得()(0)()0FFF,.........................5分即()[()]1ff........................6分(3)由极限的局部保号性,102,1(,)2xU,2()101()2fxx,故()1fx,.........................7分又()fx在闭区间[0,1]上连续,一定存在最大值M,故1M..............8分