数学建模---最佳订购策略

考试题目：最佳订购策略某公司计划在武汉市三环内的沃尔玛超市营销旗下某种品牌的商品（如高档电子产品），这些超市分别是：1.武汉宗关西汇分店（4.1）2.南湖城市广场店（3.2）3.武汉徐东大街分店（5.0）5.光谷坐标城店（4.0）6.武汉奥山店（3.7）7.汉阳钟家村店（3.5）8.汉阳店（2.3）9.菱角湖万达店（2.1）各店具体位置如上图，也可在武汉市电子地图上进行搜索给出。上述店名后所附数字是该商品每个销售周期的预估平均需求件数。由于大量商品在各店存贮造成的库存量造成资金积压严重，而每周期如果缺货又引起销售机会的损失，并且频繁进货造成浪费，公司要求制订各店的订购策略，这种策略要求给出每周期末检查商品库存量，当库存降为0或是少于一定件数时上报订购件数，公司在下一周期前组织从厂家调货送到各店。如果各店每批次进货费用100元，每售出一件商品相对进货价收益700元，但在一个周期内不能售出时每件贮存费用100元，不计当周期内已售出的商品的贮存费用。（1）为使每一周期利润最大，各店的订购策略应当如何制订？（2）在以上订购策略下，失去销售机会的可能性有多大？（3）如果在以上策略下，各店允许就近调货，每次调货费用为100元，则公司每周期的利润会增加多少？（4）对于该商品在武汉市三环线内各店的订购与销售策略，结合你的模型，写一篇给公司总经理的不超过800字的建议书。摘要本文研究的内容是基于沃尔玛超市在武汉分布的8家超市进行订购策略的分析，分析的主要问题在于如何确定[s,S]策略,常规方法是假设为离散系统在进行建模，本文假设的条件是超市的销量为连续的，但是在求解的过程中由于实际的数据是一个离散的变量，所以在用MATLAB进行求解实际上是求离散值。在该问题中对于概率密度函数的积分求解，巧妙的采用了分布函数来进行求解，通过拉格朗日插值发求解泊松分布函数的的目标离散值。在求失去销售机会的问题中，没有采用传统的马氏链方法，而是采用了MATLAB进行仿真的方法，产生一系列的随机数来模拟实际过程中的销售量，这并没有违背实际的问题，在一个非线性和随机问题中，这反而更加合理，通过对随机数的分析从而得到问题的答案。对调货问题采用的是分组调货，进行最大限度的调货方法，求得符合条件的调货模式。文中最后结合模型对该公司提出了对于调货的一些建议，即浮动仓库调货模式。关键字：MATLAB仿真；泊松分布函数；拉格朗日插值法；浮动仓库调货一、为使每一周期利润最大，各店的订购策略应当如何制订？1.1模型假设每家超市每个周期内卖出的此类商品的数量为随机变量，而不同的购买者来购买商品是独立不受相互影响的，对于每个周期内的实际需求量服从泊松分布。设某个地方的超市一个周期的销售量为t，销售量为t时的概率密度为P(t)。则有公式：P(t=𝑘)=𝜆𝑘𝑘!𝑒−𝑘(𝜆0)1.𝜆是在一段特定时间/空间内事件发生的平均值.2.e是自然常数2.71828...3.k是件在这一段发生的次数4.P是该事件在这一段时间/空间发生的概率使用条件：1.在两个相同大小/长度的时间/空间内,一个事件的发生的概率是相同的.2.事件发生于不发生是相互独立的\不受其他事件的发生或者不发生影响.假设每次各店每批次进货费用C0元,每件商品售出利润为C1，在一个周期内不能售出时每件贮存费用C2元，每个周期的商品贮存量为Q。1.2建模与求解1.2.1库存量为0模型假设如下：1.如需要补货，补货可以在下一周开售前可以立刻完成；2.每个月的随机销售量t为连续变量；3.库存量为0采用最大获利原则进行建模求解。（1）当每个周期内的销售量小于贮存量时即有Q≥t，此时有销售金额为C1𝑡,因为库存而损失的费用为C2(𝑄−𝑡)此时获取的销售额期望值为：（1）（2）𝑓(Q)=∑[C1𝑡−C2(𝑄−𝑡)𝑄𝑡=0]𝑃(𝑡)（2）当每个周期内的销售量大于贮存量时即有Qt，此时有:销售金额为C1𝑄此时获取的销售额期望值为：𝑓(Q)=∑C1𝑄∞𝑡=𝑄+1𝑃(𝑡)基于以上两种情况，进货成本为C0,最终的总利润期望值为:𝑓(Q)=∑[C1𝑡−C2(𝑄−𝑡)𝑄𝑡=0]𝑃(𝑡)+∑C1𝑄∞𝑡=𝑄+1𝑃(𝑡)−C0根据需求，出现最大利润时，即函数𝑓(Q)的值为最大值。函数可以变形为：𝑓(Q)=∫C1𝑡𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0−∫C2(𝑄−𝑡)𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0+∫C1𝑄𝑃(𝑡)𝑑𝑡−C0∞𝑄𝑓(Q)=C1∫𝑡𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0−C2𝑄∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0+C2∫𝑡𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0+C1𝑄∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡−C0∞𝑄函数𝑓(Q)对Q求导有：𝑓′(𝑄)=C1𝑄𝑃(𝑄)−C2∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0−C2𝑄𝑃(𝑄)+C2𝑄𝑃(𝑄)+C1∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡∞𝑄+C1𝑄[𝑃(∞)−𝑃(𝑄)]对于t服从泊松分布，由概率分布规律可知：𝑃(∞)=0（3）（4）（5）（6）由此可得到：𝑓′(𝑄)=C1∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡∞𝑄−C2∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0𝑓′(𝑄)=C1∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡∞0−C1∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0−C2∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0由概率分布规律知：∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡∞0=1𝑓′(𝑄)=C1−C1∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0−C2∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0𝑓′(𝑄)=C1−(C1+C2)∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0现令𝑓′(𝑄)=0则有：𝑓′(𝑄)=C1−(C1+C2)∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0=0C1=(C1+C2)∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0C1C1+C2=∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0则有：∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0=C1C1+C2=𝑘（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）设函数的驻点为𝑄𝑚,𝑃(𝑡)已知时，由于𝑘为一个介于区间（0,1）之间的参数，固𝑄𝑚可以由上式确定。另外可以从关系式得到驻点与进货运费C0无关，因为C0在每一个周期内为固定值，是可以忽略的。1.2.1库存量不为01.如需要补货，补货可以在下一周开售前可以立刻完成；2.每个月的随机销售量t为连续变量；3.库存量不为04.库存量为𝑥,订货量为Q在此种模式下，采用[s,S]策略。对比1.2.1可以得到S=Q+𝑥。由1.2.1可以知道，在此种情况下，获得最大利润时的周期初的贮存量为S𝑚,驻点S𝑚由以下公式确定，剩下来待求的参数为s。∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑆0=C1C1+C2=78(1)𝑥𝑠时订货的条件周期初始下贮存量将会达到S,同时满足𝑄+𝑥=𝑆关系由图可以表示为下图：a.当每个周期内的销售量小于贮存量时销售金额为C1𝑡,因为库存而损失的费用为C2(𝑆𝑚−𝑡)此时获取的销售额期望值为：（14）（15）𝑓(𝑆)=∑[C1𝑡−C2(𝑆𝑚−𝑡)𝑆𝑚𝑡=0]𝑃(𝑡)b.当每个周期内的销售量大于贮存量时销售金额为C1𝑆𝑚此时获取的销售额期望值为：𝑓(𝑆)=∑C1𝑆∞𝑡=𝑆𝑚+1𝑃(𝑡)基于以上两种情况，进货费用为𝑘,最终的总利润期望值为:𝑓(𝑆)=∑[C1𝑡−C2(𝑆𝑚−𝑡)𝑆𝑚𝑡=0]𝑃(𝑡)+∑C1𝑆𝑚∞𝑡=𝑆𝑚+1𝑃(𝑡)−𝑘𝑓(𝑆𝑚)=∫𝐶1𝑡𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑆𝑚0−∫𝐶2(𝑆𝑚−𝑡)𝑃(𝑡)𝑑𝑡+∫𝐶1𝑆𝑚𝑃(𝑡)𝑑𝑡−𝑘∞𝑆𝑚𝑆𝑚0（2）𝑥𝑠时a.当每个周期内的销售量小于贮存量时销售金额为C1𝑡,因为库存而损失的费用为C2(𝑥−𝑡)此时获取的销售额期望值为：𝑓(𝑥+𝑡)=∑[C1𝑡−C2(𝑥−𝑡)𝑠𝑡=0]𝑃(𝑡)b.当每个周期内的销售量大于贮存量时销售金额为C2𝑠此时获取的销售额期望值为：𝑓(S𝑚)=∑C1s∞𝑟=𝑠+1𝑃(𝑡)基于以上两种情况，最终的总利润期望值为:𝑓(S𝑚)=∑[C1𝑡−C2(S𝑚−𝑡)s𝑟=0]𝑃(𝑡)+∑C1S𝑚∞𝑡=𝑠+1𝑃(𝑡)（16）（17）（18）（19）（20）𝑓(𝑠)=∫𝐶1𝑡𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑠0−∫𝐶2(𝑠−𝑡)𝑃(𝑡)𝑑𝑡+∫𝐶2𝑠𝑃(𝑡)𝑑𝑡∞𝑠𝑠0根据实际意义有：∫𝐶1𝑡𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑆𝑚0−∫𝐶2(𝑆𝑚−𝑡)𝑃(𝑡)𝑑𝑡+∫𝐶1𝑆𝑚𝑃(𝑡)𝑑𝑡−𝑘∞𝑆𝑚𝑆𝑚0≤∫𝐶1𝑡𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑠0−∫𝐶2(𝑠−𝑡)𝑃(𝑡)𝑑𝑡+∫𝐶2𝑠𝑃(𝑡)𝑑𝑡∞𝑠𝑠0确定订货点s可以根据上述的不等式进行求解，求解时在满足条件下的s，取值时取任意值即可，一般来说取最小值。1.2.3求解[s,S]下表为各分店每个周期内的平均需求量分店平均需求量武汉宗关西汇分店4.1南湖城市广场店3.2武汉徐东大街分店5光谷坐标城店4武汉奥山店3.7汉阳钟家村店3.5汉阳店2.3菱角湖万达店2.1实际过程中的销售量为整数。由matlab求解,概率密度函数是分布函数的导数，所以先画出分布函数的图像，具体过程为画出各个平均值下的概率分布图，然后采用插值法进行计算。对于以下函数：∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑄0=𝑘设泊松分布的分布函数为𝑓(𝑡),则有𝑓′(𝑡)=𝑃(𝑡)。分布函数是对密度函数进行积分，其表达式为：连续型：（21）（22）（23）𝑓(𝑡)=𝑃(𝑡≤𝑥)=∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑥−∞离散型：𝑓(𝑡)=𝑃(𝑡≤𝑥)=∑𝑃(𝑡)∞𝑡=0分布函数具有以下性质：(1)对任意的t都有：0≤𝑓(𝑡)≤1(2)单调增𝑡1𝑡2则有𝑓(𝑡1)𝑓(𝑡2)积分的一般计算方法：对于每个周期内的销售量的分布函数：𝑓(𝑡)=∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑥−∞问题的实际归为求积分：∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑏𝑎用密度函数非常复杂或用解析方法不能积分时，我们常常使用数值积分的方法来处理。其基本思想是，用简单的函数来代替复杂的被积函数。例如在被积函数的定义域内选一系列的点[1]。𝑡1,𝑡2,𝑡3,….,𝑡𝑛然后求在该点处的函数值𝑓(𝑡1)，𝑓(𝑡2)，….，𝑓(𝑡𝑛)定义插值多项式如下：𝐿𝑛(𝑡)=∑𝑙𝑖(𝑡)𝑛𝑖=0𝑓(𝑡𝑛)其中𝑙𝑖(𝑡)=𝜔𝑛+1(𝑡)(𝑡−𝑡𝑖)𝜔′𝑛+1(𝑡𝑖)这里𝜔𝑛+1(𝑡)=(𝑡−𝑡0)(𝑡−𝑡1)······(𝑡−𝑡𝑛)（24）（25）（26）（27）（28）（29）（30）𝜔′𝑛(𝑡𝑖)=(𝑡𝑖−𝑡0)······(𝑡𝑖−𝑡𝑖−1)······(𝑡𝑖−𝑡𝑛)𝐿𝑛(𝑡)称为拉格朗日插值多项式，其具有以下性质：1）𝐿𝑛(𝑡𝑖)=𝑓(𝑡𝑖)i=0,1,2,……,n2）在上点与点之间为线性函数。显然有以下关系式成立：𝑓(𝑡)=𝐿𝑛(𝑡)+𝑅𝑛(𝑡)其中，𝑅𝑛(𝑡)是误差函数。可以证明，当𝑓(𝑡)有n+1阶有界导数时，𝑅𝑛(𝑡)=𝜔𝑛+1(𝑡)(𝑛+1)!𝑓(𝑛+1)(𝜉)𝜉∈(𝑎,𝑏)当𝑓(𝑛+1)(𝑡)≡0时，𝑅𝑛(𝑡)≡0即当𝑓(𝑡)是不高于n阶的多项式，有𝑓(𝑡)=𝐿𝑛(𝑡)两边积分有∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏𝑎=∑𝑓(𝑡𝑖)𝑛𝑖=0∫𝑙𝑖(𝑡)𝑑𝑡𝑏𝑎+∫𝑅𝑛(𝑡)𝑑𝑡𝑏𝑎从而我们可以得到积分的一般近似公式∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏𝑎≈∑𝐴𝑖𝑓(𝑡𝑖)𝑛𝑖=0其中𝐴𝑖=∫𝑙𝑖(𝑡)𝑑𝑡𝑏𝑎拉格朗日插值法的公式结构紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，但插值点增加或