自考复变函数真题及答案

第1页共7页2010年4月高等教育自学考试全国统一命题考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.arg(-1+i3)=()A.-3B.3C.3D.3+2nπ2.w=|z|2在z=0()A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z=x+iy，则下列函数为解析函数的是()A.f(z)=x2-y2+i2xyB.f(z)=x-iyC.f(z)=x+i2yD.f(z)=2x+iy4.设C为由z=-1到z=l的上半圆周|z|=1，则Czzd||=()A.2πiB.0C.1D.25.设C为正向圆周|z|=1，则Czzz)2(d=()A.-πiB.0C.πiD.2πi6.设C为正向圆周|z|=2，则Cizizze3)(dz=()A.0B.e-1C.2πiD.-πe-1i7.z=0是3sinzz的极点，其阶数为()A.1B.2C.3D.48.以z=0为本性奇点的函数是()A.zzsinB.2)1(1zzC.z1eD.1e1z第2页共7页9.设f(z)的罗朗展开式为-11)1(22zz+(z-1)+2(z-l)2+…+n(z-1)n+…则Res[f(z),1]=()A.-2B.-1C.1D.210.设z=a为解析函数f(z)的m阶零点，则函数)()(zfzf在z=a的留数为()A.-mB.-m+lC.m-1D.m二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.|z-i|=|z-1|的图形是_______________.12.设z=ii，则Imz=_______________.13.设C为由点z=-l-i到点z=l+i的直线段，则Cz3dz=_______________.14.设C是顶点为z=±21,z=±i56的菱形的正向边界，则Cize2dz=______________.15.设C为正向圆周|z|=1，则Czcoszdz=_________.16.函数21z在点z=4的泰勒级数的收敛半径为_________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17.设z=x+iy,求复数11zz的实部与虚部.（6分）18.求复数i8-4i25+i的模.(6分)19.求f(z)=(z-1)2ez在z=1的泰勒展开式.(6分)20.求f(z)=)2)(1(2zz在圆环域1|z|2内的罗朗展开式.(6分)21.求解方程cosz=2.（7分）22.设z=x+iy,试证v(x,y)=x2+2xy-y2为调和函数，并求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y).(7分)23.设C为正向圆周|z-2|=1,求Czzz2)2(edz.(7分)24.设C为正向圆周|z|=1，求Cz1sindz.(7分)四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分）25.（1）指出f(z)=)4)(1(222zzz在上半平面内的所有奇点及类型；（2）计算f(z)在以上奇点的留数；（3）利用以上结果计算实积分)4)(1(222xxxdx.第3页共7页26.设D为Z平面上的扇形区域0argz3.试求下列保角映射：（1）w1=f1(z)把D映射为W1平面的上半平面Imw10;（2）w=f2(w1)把Imw10映射为W平面上的单位圆盘|w|1，并且满足f2(2i)=0;（3）w=f(z)把Z平面上的区域D映射为W平面上的单位圆盘|w|1.27.用拉普拉斯变换解方程y(t)=sint-2tdty0)cos()(第4页共7页第5页共7页第6页共7页第7页共7页