立体几何中三角形的四心问题

立体几何中三角形的四心问题一、外心问题（若PA=PB=PC,则O为三角形ABC的外心）例1．设P是ΔABC所在平面α外一点，若PA，PB，PC与平面α所成的角都相等，那么P在平面α内的射影是ΔABC的()A.内心B.外心C.垂心D.重心如图所示，作PO⊥平面α于O，连OA、OB、OC，那么∠PAO、∠PBO、∠PCO分别是PA、PB、PC与平面α所成的角，且已知它们都相等.∴RtΔPAO≌RtΔPBO≌RtΔPCO.∴OA＝OB＝OC∴应选B.例2．Rt△ABC中，∠C＝９０°，BC＝３６，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离为８０，M为AC的中点．（１）求证：PM⊥AC；（２）求P到直线AC的距离；（３）求PM与平面ABC所成角的正切值．解析：点P到△ABC的三个顶点等距离，则P在平面ABC内的射影为△ABC的外心，而△ABC为直角三角形，其外心为斜边的中点．证明（１）∵PA＝PC，M是AC中点，∴PM⊥AC解（２）∵BC＝３６，∴MH＝１８，又PH＝８０，∴PM＝8218802222MHPH，即P到直线AC的距离为８２；（３）∵PM=PB=PC，∴P在平面ABC内的射线为△ABC的外心，∵∠C=90°∴P在平面ABC内的射线为AB的中点H。∵PH⊥平面ABC，∴HM为PM在平面ABC上的射影，则∠PMH为PM与平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝9401880MHPH例3．斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。解析：∵A1A=A1B=A1C∴点A1在平面ABC上的射影为△ABC的外心，在∠BAC平分线AD上∵AB=AC∴AD⊥BC∵AD为A1A在平面ABC上的射影∴BC⊥AA1∴BC⊥BB1∴BB1C1C为矩形，S=BB1×BC=156取AB中点E，连A1E∵A1A=A1B∴A1E⊥AB∴12)2AB(AAEA2211∴1111120AACCAABBSS∴S侧=396二、内心问题（若P点到三边AB,BC,CA的距离相等，则O是三角形ABC的内心）例4．如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面的射影O在ΔABC内，那么O是ΔABC的()A.垂心B.重心C.外心D.内心解(1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O到ΔABC的三边的距离相等，因而O是ΔABC的内心，因此选D.说明三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.三．重心问题（若PA垂直PB，PB垂直PC,PC垂直PA,则O是三角形ABC的重心）例6．如图2－24：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，（1）求证：平面MNG//平面ACD；（2）求ADCMNGSS:解析：（1）要证明平面MNG//平面ACD，由于M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线。证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有：2GHBGNFBNMPBM连结PF、FH、PH有MN∥PF，又PF平面ACD，∴MN∥平面ACD。同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD（2）分析：因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。ABDCPHFMGN图2－24解：由（1）可知32BHBGPHMG，∴MG＝32PH，又PH＝21AD，∴MG＝31AD同理：NG＝31AC，MN＝31CD，∴MNG∽ACD，其相似比为1：3，∴ADCMNGS:S＝1：9点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。例7．如图9－26，P为△ABC所在平面外一点，点M、N分别是△PAB和△PBC的重心．求证：MN∥平面ABC．（三角形的三条中线交于一点，称为重心，重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的2倍）解析：如图9－16，连结PM并延长交AB于D，连结PN并延长交BC于E，连结DE．在ΔPAB中，∵M是ΔPAB的重心，∴2MDPM，同理在△PBC中有2NENP，在△PDE中，∵NEPNMDPM，∴MN∥DE，∵MN平面ABC，DE平面ABC，∴MN∥平面ABC．例9．如图，在三棱锥S—ABC中，A1、B1、C1分别是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心，(1)求证：平面A1B1C1∥平面ABC；(2)求三棱锥S—A1B1C1与S—ABC体积之比.解析：本题显然应由三角形重心的性质，结合成比例线段的关系推导出“线线平行”再到“线面平行”到“面面平行”，至于体积的比的计算只要能求出相似三角形面积的比和对应高的比就可以了.证：(1)：∵A1、B1、C1是ΔSBC、ΔSCA、ΔSAB的重心，连SA1、SC1并延长交BC、AB于N、M，则N、M必是BC和AB的中点.连MN∵SMSC1＝SNSA1＝32，∴A1C1∥MN.∵MN平面ABC，∴A1C1∥平面ABC.同理可证A1B1∥平面ABC.∴平面A1B1C1∥平面ABC.(2)由(1)MNCA11＝32，MN∥21AC，∴A1C1∥31AC.同理可证：A1B1∥31AB，B1C1∥31BC.∴ΔA1B1C1≌ΔABC，S111CBA△＝91SΔABC.设三棱锥S—ABC的高为h，S—A1B1C1的高为h1则有：hh1＝SNSA1＝32,∴h1＝32h.∴ABCSCBASVV111＝hShSABCABC△△91313231＝272.评析：要掌握线面平行的相互转化的思想方法外，还要有扎实的相似形和线段成比例的基础.四垂心问题(若PA=PB=PC,AB=AC,则O点在BC的中垂线上)例10．已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC，△ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影．求证：H不可能是△SBC的垂心．分析：本题因不易直接证明，故采用反证法．证明：假设H是△SBC的垂心，连结BH，并延长交SC于D点，则BH⊥SC∵AH⊥平面SBC，∴BH是AB在平面SBC内的射影∴SC⊥AB（三垂线定理）ABCHDS又∵SA⊥底面ABC，AC是SC在面内的射影∴AB⊥AC（三垂线定理的逆定理）∴△ABC是Rt△与已知△ABC是锐角三角形相矛盾，于是假设不成立．故H不可能是△SBC的垂心．例11．如图2－40：P是△ABC所在平面外的一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H是垂足。求证：H是ABC的垂心。证明：∵PA⊥PB，PB⊥PC，∴PA⊥平面PBC，BC平面PBC∴BC⊥PA∵PH⊥平面ABC，BC平面ABC∴BC⊥PH∴BC⊥平面PAH，AH平面PAH∴AH⊥BC，同理BH⊥AC，CH⊥AB，因此H是△ABC的垂心。例14．如图9-32，△ABD和△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求证：（6）图9-32（1）BD⊥平面ADC；（2）若H是△ABC的垂心，则H为D在平面ABC内的射影．解析：（1）设AD=BD=CD=a，则aACAB2．∵∠BAC=60°，∴aBC2．由勾股定理可知，∠BDC=90°．即BD⊥DC，又∵BD⊥AD，AD∩DC=D，∴BD⊥平面ADC．（2）如图答9-21，要证H是D在平面ABC上的射影，只需证DH⊥平面ABD．连结HA、HB、HC．∵H是△ABC的垂心，∴CH⊥AB．∵CD⊥DA，CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB．∵CH∩CD=C，∴AB⊥平面DCH．∵DH平面DCH，∴AB⊥DH，即DH⊥AB，ABDCHP同理DH⊥BC．∵AB∩BC=B，∴DH⊥平面ABC．五、四心综合比较考查例15．P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面α上的射影．（1）若PA=PB=PC，则O是△ABC的____________心．（2）若点P到△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC_________心．（3）若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC_________心．（4）若△ABC是直角三角形，且PA=PB=PC则O是△ABC的_______心．（5）若△ABC是等腰三角形，且PA=PB=PC，则O是△ABC的_____心．（6）若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是△ABC的____心；解析：（1）外心．∵PA=PB=PC∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心．（2）内心（或旁心）．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连结PD、PE、PF．∵PO⊥平面ABC，∴OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，由三垂线定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF，∴O是△ABC的内心．（如图答9-23）（3）垂心．（4）外心．（5）外心（6）外心．PA与平面ABC所成的角为∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共边，∠POA=∠POB=∠POC=90°，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴OA=OB=OC，∴O为△ABC的外心．（此外心又在三角形的底边高上）