第四章-线性离散系统的Z变换分析法

1第四章线性离散系统分析（Z变换法）内容与要求■重点掌握：线性离散系统稳定的充要条件及稳态误差特性。■一般掌握：线性离散系统的稳定性分析与朱利稳定判据，采样周期对稳定性的影响，典型输入信号下的稳态误差分析；■了解内容：线性离散系统的动态性能指标与时间响应，闭环极点与系统动态响应间的关系。2第四章线性离散系统分析（Z变换法）描述离散系统的性能指标与连续系统类似，通常用下述几个方面的性能表示：稳定性（4.1节）；稳态特性，主要是稳态误差（4.2节）；动态特性（4.3节）。对控制系统的要求可以概括为：稳、准、快。34.1稳定性分析任何系统在扰动作用下，都会偏离原来的平衡工作状态。稳定性是指当扰动作用消失以后，系统恢复到原来平衡状态的能力。1.若系统能恢复平衡状态，则称系统是稳定的；2.若系统在扰动作用消失以后，不能恢复到平衡状态，则称系统是不稳定的。3.线性系统的稳定性是系统的固有特性，与扰动形式无关，只取决于系统本身的结构参数。44.1稳定性分析本节主要内容包括：4.1.1S平面与Z平面的映射关系4.1.2离散系统稳定的充要条件4.1.3朱利稳定判据4.1.4二阶离散系统的稳定判据4.1.5采样周期对稳定性的影响54.1.1S平面与Z平面的映射关系4.1.1S域到Z域的映射复变量z和s之间的关系：sTze令sj，映射到Z域为()jTTjTTzeeeeT复变量z的模、相角与复变量s的关系为,TzezT上式是S平面和Z平面的对应关系。64.1.1S平面与Z平面的映射关系（一）S平面与Z平面间的映射关系如下：S平面上的虚轴（0）映射为Z平面上以原点为圆心的单位圆（z1）；S左半平面（0）映射在Z平面单位圆内（z1）；S右半平面（0）映射在单位圆外（z1）。74.1.1S平面与Z平面的映射关系S平面与Z平面间的映射关系20S10j0ReImj110ZTe2Te184.1.1S平面与Z平面的映射关系（二）角频率与Z平面相角关系。/szT2当S平面上某点沿虚轴（0）由变化到时，Z平面的相角也从变化到，相当于Z平面上的相应点沿单位圆逆时针转过无穷多圈。s2s/s20/s2ss2z42024每当变化一个s，Z平面相角z变化2。94.1.1S平面与Z平面的映射关系S平面可划分成许多宽度为s、平行于实轴的周期带，其中ss22间周期带（任意）称为主带，其余均称为旁带（次要带）。由于Z平面的相角每隔一个s转1周，结果主带映射为整个Z平面，而其余每一个旁带也都重叠映射在整个Z平面上。104.1.1S平面与Z平面的映射关系主带与旁带的映射关系jReImj110ZS0/s4/s4/s2/s2/s2/s2/s32/s320114.1.1S平面与Z平面的映射关系124.1.2Z平面与w平面的映射关系1111wzz,wwz-有如果令其中z和w均为复变量，可写为zxjywujv将z=x+jy代入w=z+1/z-1,整理得222222()12(1)(1)xyywujvjxyxyw平面中的虚轴对应于上式中的实部为零，即134.1.2Z平面与w平面的映射关系2210xy这在z平面中就是单位圆。z平面单位圆内的区域为x2+y21，对应于w平面内是实轴为负的左半平面；z平面单位圆外的区域为x2+y21，对应于w平面内是实部为正的右半平面。如下图所示。oojyxjvuzw144.1.2z平面与w平面的映射关系如果采样系统的特征方程为△(z)=0，代入11wzw，即可得到以w为复变量的特征方程△(w)=0，它是w的代数方程。这样，如果△(z)=0的根都在z域中的单位圆内，则对应的△(w)=0的根必定在w域的左半平面。因此，经过w变换之后，就可以将劳斯判据用于采样系统了。其步骤是：（1）求采样系统的特征方程△(z)=0；（2）进行w变换，整理后得△(w)=0；（3）应用劳斯判据判别采样系统的稳定性。154.1.3离散系统稳定的充要条件连续系统的稳定域164.1.3离散系统稳定的充要条件离散系统的稳定性定义：若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。根据S平面和Z平面的映射关系：1）S左半平面映射为Ｚ平面上的单位园内，对应稳定域；2）S右半平面映射为Z平面上的单位圆外，对应不稳定域；3）S平面上的虚轴，映射为Z平面上的单位圆，对应不稳定情况。174.1.3离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件：离散系统的特征根全部位于Z平面的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，即1iz。提示：只要有一个特征根在单位圆外，离散系统就是不稳定的。若系统的根位于单位圆上，系统处于稳定边界（临界稳定），亦称为不稳定系统。184.1.3离散系统稳定的充要条件例4-1设离散系统如图，其中()/()Gsss101，()Hs1,Ts1。试分析该系统的稳定性。闭环离散系统结构图（I）()Gs()Cs()CzT()et*()et()rt()Hs()Ez*()ct＋－T194.1.3离散系统稳定的充要条件解：系统的开环脉冲传递函数为()()[()()]()()ezGHzZGsHszze111011闭环特征方程：()GHz10即：..zz2495203680特征根：.,.zz2140076876因为z21，所以该离散系统不稳定。注意：连续系统引入采样器后一般会降低系统的相对稳定性（稳定裕量），甚至导致不稳定。204.1.4Routh(劳斯)稳定判据（1）设闭环采样系统的特征方程为anwn+an-1wn-1+…a1w+a0=0设各项系数均为正（2）按特征方程的系数列写劳斯阵列表：nnnnnnnnnnnwaaawaaawbbbwcccwdddwfwg2411352123312341231101214.1.4Routh(劳斯)稳定判据其中21311131211415221513111111nnnnnnnnnnnnnnaaaabcaabbabaaaabcaabbab各行系数一直计算到其余项为0，按此规律一直计算到s0行为止。（3）考察阵列表第一列系数的符号。若第一列系数均为正，则该系统是稳定的，即特征方程的根均位于w平面的左半平面；若第一列系数有负号，则第一列系数符号的改变次数等于w右半平面上根的个数。224.1.4Routh(劳斯)稳定判据例：设闭环系统的特征方程为32()45117119390zzzz试判断系统的稳定性。解：令11wzw得3211145()117()119()390111整理化简得32()22400234.1.4Routh(劳斯)稳定判据列出劳斯表为32101202400-18040第一列有两次符号改变，所以有两个根在w平面的右半平面，系统不稳定。24根据离散系统的闭环特征方程的系数，判别特征根是否严格位于Z平面上的单位圆内。是直接在Z域内应用的稳定性判据（代数判据）。设n阶离散系统的特征方程为(),nnnnnzazazazaa111000首先，利用特征方程的系数，按照下面的方法构造()()nn231的朱利表。4.1.5朱利（Jury）稳定判据25朱利表的形式如下：行数z0z1z2z3nkznz1nz1a0a1a2a3nkana1na2nana1na2na3kaa1a03b0b1b2b3nkbnb14nb1nb2nb3nb4kbb05c0c1c2c3nc26nc2nc3nc4nc5c0n23q0q1q24.1.5朱利（Jury）稳定判据264.1.5朱利（Jury）稳定判据朱利表的构造方法如下：1．特征方程系数从低次幂到高次幂顺序排列为第1行；2．k22(偶数)行是将k21(奇数)行倒序排列而成；3．第3行起，表中的系数采用以下公式计算：,,,,,,,,nkknknkknkaabknaabbcknbb00110110124．如此继续，直到最末行系数为三个元素为止。274.1.5朱利（Jury）稳定判据朱利稳定判据叙述如下：特征方程式()z0的根，全部严格位于Z平面上单位圆内的充要条件是()())))(n12101103）以及下列()n1个约束条件成立,,,,nnnaabbccqq0010202只有当上述条件均满足时，离散系统才是稳定的，否则系统不稳定。284.1.5朱利（Jury）稳定判据例4-2已知离散系统的闭环特征方程为()..zzzz323225050试用朱利判据判别系统的稳定性。解：1)列出朱利表由于n3，故朱利表为3行、4列。行数z0z1z2z31.05.22531213.225.053b0b1b2294.1.5朱利（Jury）稳定判据2）计算朱利表中的元素对于本例，只需计算,(,,)kbk012...,......bbb012051053075187510512250522507513304.1.5朱利（Jury）稳定判据3）根据朱利判据判定系统稳定性)()...)()()()[()().().)].)(.,)(.)aaaabbbb3233203030202013225050252113225056753051111111101750由于条件(),bb0210不满足，系统不稳定。特征方程可以分解为：()(.)()zzz20520314.1.6二阶离散系统的稳定判据已知二阶离散系统的特征方程为()zzaza2100根据朱利稳定判据，系统稳定的充要条件为()()()ora01010101例4-3已知采样系统结构图如图，采样周期Ts1，试求使系统稳定的K值范围。324.1.6二阶离散系统的稳定判据线性离散系统T()rt＋－T()Kss1Tses1*()ct()ct解系统的开环脉冲传递函数为..()()[]()..KzGzzZKsszz122036802641113680368系统的闭环特征方程为()()(..)(..)zGzzKzK2103681368036802640代入二阶离散系统稳定的充要条件334.1.6二阶离散系统的稳定判据)()....)()(..)(..).)()(..)(..).....KKKKKKKKKKK1003680264110368026412110368136803680264006320311036813680368026400104251827360039263取以上三个条件的交集，得到系统稳定的K值范围：.K0239。344.1.7采样周期对稳定性的影响354.1.7采样周期对稳定性的影响例4-4已知采样系统结构如下图，其中().KGss011。试讨论采样周期T对系统稳定性的影响。线性离散系统T()rt＋－T()GsTses1*()ct()ct364.1.7采样周期对稳定性的影响解系统的开环脉冲传递函数为()()()[](.)TTKKeGzzZssze1011011011系统的闭环特征方程为()()()TTzGzzeKe1010110为使系统稳定，要求特征根在单位圆内，即|()|TTeKe101011亦即()TTeKe1010111374.1.7采