华南理工大学高等数学教学课件

1/7第三节函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义：设函数xf当x大于某一个正数时有定义，如果对于任意给定的0（任意小）总存在正数X，当Xx时，一定有Axf那么常数A称为函数xf当x时的极限，记为Axfxlim，或xAxf。例1：证明1）656limxxx；2）101lim1aaxx证明：1）对于任给的（任意小）0，xxxx55656取5X，当Xx时有656xx所以656limxxx。（如图6）注1：直线6y称为函数xxy56的水平渐近线。2）对于任给的（任意小）0，要使11xa，即1log11log111aaaaaaxx当10a时，指数函数是递减的，所以1log11logaax令1log1,1log1maxaaM，则当0xxM时有2/71log111logaaMx当0xMx时有1log111logaaxM即当Mx时总有1log11logaax11xa所以101lim1aaxx。注2:x有两个方向，一个方向越来越大，一个方向越来越小。有些函数当自变量向不同的方向变化时，函数越来越接近的数可能不相同。我们来考虑函数xxfarctan（如图7）。因此有时我们需要考虑某一个方向的极限，即所谓的单侧极限。注3：当0x时，且x无限增大。即x。则定义中的Xx改为Xx，极限记为Axfxlim。当0x时，且x无限增大。即x。则定义中的Xx改为Xx，极限记为Axfxlim。例2：证明：0sinlimxxx证明：对于任给的（任意小）0，xxxxx1sin0sin取1X，当Xx时有0sinxx3/7所以0sinlimxxx。二、自变量趋于有限值时函数的极限1）、函数极限的定义定义：设函数xf在点0x的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数（任意小），总存在正数，使得对于适合不等式00xx的一切x，对应的函数值xf都满足不等式Axf那么常数A就叫做函数xf当0xx的极限。记为Axfxx0lim，或0,xxAxf。例3：证明32121lim221xxxx。证明：对于任给的（任意小）0，136112313212132112113212122xxxxxxxxxxxxx令311x，则有323111xxx1136113613212122xxxxxxxx取,31min，当10x时有3212122xxx所以32121lim221xxxx。例4：证明20211lim0xxxx。证明：对于任给的（任意小）0，4/7020020220220211111xxxxxxxxxxx令10xx，则有00011xxxxxx02000200202121111xxxxxxxxxxx取020211,1minxx，当00xx时有20211xx所以20211lim0xxxx。例5：证明0coscoslim0xxxx。证明：证明：对于任给的（任意小）0，000002sin22sin2sin2coscosxxxxxxxxxx（注解）取，当00xx时有0coscosxx所以0coscoslim0xxxx。注4：函数极限的几何意义（如图9）。前面我们考虑的自变量趋于有限值时函数的极限是同时考虑从左右两边趋近于这个有限数。有时我们也选考虑从一边趋近于这个有限数，即所谓单侧极限。如函数030122xxxxxf当0x时，此函数从左右两边越来越接近的数是不一样的。（如图10）注5：当x从右边趋近于0x时，即00,xxxx，我们记作0xx，只需把上面定义中的00xx（去心邻域）改为00xxx（右5/7半邻域）；把Axfxx0lim或0,xxAxf改为Axfxx0lim或0,xxAxf；当x从左边趋近于0x时，即00,xxxx，我们记作0xx，只需把上面定义中的00xx（去心邻域）改为00xxx（左半邻域）；把Axfxx0lim或0,xxAxf改为Axfxx0lim或0,xxAxf。例6：证明：4444lim222xxxx证明：对于任给的（任意小）0，242444422xxxxx（注意2x）取，当22x时有444422xxx所以4444lim222xxxx。2）、函数极限的性质性质1：（唯一性）如果数BA,是函数xf当0xx时的极限，则一定有BA。证明：假设BA。无妨设BA，取2BA。因为Axfxx0lim，所以存在正数1，当10xx时有2BAAxf又因为Bxfxx0lim，因此存在正数2，当20xx时有2BABxf6/7取21,max，当0xx时有BAAxfBxfAxfBxfBA这是一个矛盾，从而证明BA成立。性质2：（局部有界性）如果Axfxx0lim，则存在正数M,，当00xx时，一定有Mxf。证明：因为Axfxx0lim，取1，则存在正数，当00xx时有1Axf即有AxfAxfAxf11取AM1则得所证结论。性质3：（局部保号性）如果Axfxx0lim而且0A（或0A）那么就存在着点0x的某一去心邻域当x在该邻域内时就有0xf（或0xf）。证明：如果0A，我们取2A，因为Axfxx0lim，所以一定存在正数当00xx时有2AAxf即有022AAAxf。性质4：如果在0x的某个去心邻域内有0xf（或0xf）,而且Axfxx0lim，那么0A（或0A）。7/7证明：设当00xx时有0xf。用反证法，假设这时有0A，根据性质3，存在的一个去心邻域有，这与当时有矛盾。所以0A。▍作业：1题1、4小题、2题1、2小题、5题、7题。思考题：你认为用极限的定义去证明极限的存在，最难处理的是哪个步骤？处理这个步骤你有何经验？