模糊数学方法在统计评价中的应用

模糊综合评判在统计评价中的应用主讲人：张海波2020/6/21一、不确定现象不确定现象是指由于多种因素的影响，在质与量两个方面都不可能确定下来的现象。不确定现象可分为随机不确定现象与模糊不确定现象。随机不确定现象是指现象的概念明确，但因为条件不充分而不能确定下来的现象。例如，“沉淀货币”本身有明确的含义，它是指由于各种原因退出流通领域以各种形式“沉淀”下来的货币。由于影响因素的复杂与沉淀形式的多样性，使得这类货币的出现与对其计量表现出极大的不确定性。此时此地、彼时彼地沉淀货币有多少始终是不确定的。对随机不确定现象运用概率统计的方法对其进行研究。2020/6/22一、不确定现象模糊不确定现象是指现象概念的内涵本身模糊，导致其外延不确定的现象。例如，“货币流通正常”是一个概念本身就不明确的模糊现象。因为从经济学意义上讲，“货币流通正常本身就没有明确的含义，无论从质的方面还是从量的方面，从来都没有明确过什么样的货币流通状况是正常的。因此，某个时期的货币流通是否正常因其概念本身不明确而难以确定。对模糊不确定现象需要运用模糊数学方法进行研究。2020/6/23二、模糊综合评判的含义模糊综合评判是运用模糊数学原理，对模糊现象进行综合评价的一种方法。虽然它是一种数学方法，但在统计综合评价中有着广泛的用途。模糊综合评判按照是否设评语等级论域，分为含有等级论域的模糊综合评判与舍弃等级论域的模糊综合评判如对企业经济效益进行综合评价时，可以设定评语集合为｛很好，好，一般，不好，很不好｝，这个集合就是一个评语等级论域。如果模糊综合评判是对多要素就这个评语进行综合评判，就称为含有等级论域的模糊综合评判。如果对多要素进行综合评判不设等级论域，而是判断评判对象属于某个评价水平的程度，就是舍弃等级论域的模糊综合评判。2020/6/24三、模糊综合评判的基本原理第一步：确定因素集合与评语集合确定参加综合评价的多因素组成的集合：确定评语组成的集合：。评语可用评价等级词语如很好，好，一般，不好，很不好来设定。有时也可以舍弃等级论域。第二步：确定一个上的模糊关系首先对因素集合X中的诸因素，用各种可行的方法分别作出对评语集合Y中的诸评语的单因素评判；其次综合所有单因素评价结果得到模糊关系矩阵R2020/6/2512(,,,)nXxxxL12(,,,)mYyyyLXY三、模糊综合评判的基本原理第三步：确定因素集合中诸因素的权重。考虑因素的重要性考虑评价的重点权重集合为，第四步：进行模糊变换（模糊合成）模糊变换的模型为：模糊变换中要选择变换的算子模糊变换所得的向量即为模糊综合评判的结果。2020/6/2612(,,,)nAaaaL1iaBARo四、模糊变换中的常用算子模糊集合的交并运算是模糊综合评判中不可缺少的内容。这类运算往往有不同的规则，即采用不同的算子。在一次综合评判中，往往要根据需要采用不同的算子进行模糊合成。已知模糊合成的模型是：对上述模型进行合成的算子通常有下列四种。2020/6/27BARo12(,,,)nAaaaL()ijnmRr1、算子算子实际上是一个取小取大的过程。表示取小，表示取大。该算子的具体运算规则为：该算子属于“主因素突出型”。如果评价因素较多，且权重分配差距不太大，就得不到理想的综合评价结果。2020/6/28(,)M(,)M12(,,,)mBARbbboL()maxmin(,)iiijiijbarar例题设有权重向量A=（0.40.50.6）模糊关系矩阵按上述算子得：2020/6/290.80.20.410.50.1R(0.40.8)(0.50.4)(0.60.5),(0.40.2)(0.51)(0.60.1)(0.40.40.5,0.20.50.1)(0.5,0.5)B2、算子该算子用逻辑乘（min）作为矩阵运算中的乘，以作为运算中的加。其中，有界和表示：该算子的运算规则是：该算子也属于“主因素突出型”，将会泯灭掉一些次要因素，得不到理想的评价结果。2020/6/210(,)Mmin(,1)abab12(,,,)mBARbbboL1min(),1njiijibar例题沿用前例：2020/6/211(0.40.8)(0.50.4)(0.60.5),(0.40.2)(0.51)(0.60.1)(0.40.40.5,0.20.50.1)(1,0.8)B采用该算子，用普通的实数乘法作为矩阵运算中的乘，以逻辑加（max）作为运算中的和。该算子的运算规则为：该算子属于“加权平均型”。但该算子采用了逻辑加，就会丢失一些必要的信息，影响综合评判质量。2020/6/2123、算子(,)M12(,,,)mBARbbboLmax()jiijbar例题2020/6/213沿用前例：(0.40.8)(0.50.4)(0.60.5),(0.40.2)(0.51)(0.60.1)(0.320.20.3,0.080.050.06)(0.32,0.08)B4、算子该算子采用普通的实数乘法与有界和作为矩阵运算中的乘和加。该算子的运算规则为：该算子属于典型的“加权平均型”，且采用了有界和，既能综合考虑全部因素，又能保证隶属度不大于1，是一种比较理想的模糊合成方法。2020/6/214(,)M12(,,,)mBARbbboL1min(,1)mjiijjbar例题沿用前例：2020/6/215(0.40.8)(0.50.4)(0.60.5),(0.40.2)(0.51)(0.60.1)(0.320.20.3,0.080.50.06)(0.82,0.64)B五、隶属函数与隶属度在模糊综合评判中，需要知道因素集合中各因素隶属于评语集合中某个评语的程度，此时就需要建立隶属函数。隶属函数刻画了评价因素与评语等级之间的变化关系。隶属函数一般用表示。隶属函数的选择具有主观性。隶属函数的种类有多种。将被评价的指标值代入隶属函数中就可以算得隶属函数的取值即隶属度。隶属度反应了某评价因素隶属于某模糊集的程度。如隶属于“好”的程度。2020/6/216()Ax六、模糊综合评判的案例分析（一）为了评价某市有六个棉纺厂的经济效益是否好，搜集了反映经济效益的八项指标如下：试综合评判六个企业经济效益是否好（舍弃等级论域）。2020/6/217一厂二厂三厂四厂五厂六厂全员劳动生产率X17.465.296.546.785.515.49资金利税率X2262928272134产值利税率X3202423272729销售收入利润率X411.2010.8411.3512.0410.1910.79万元产值占用流资X519.8626.5730294821.68万元固资提供利税X6455053444657流动资金周转期X711810914412420484增加值率X838.2834.1237.3836.7239.8331.531、确定权重确定各评价指标的权重应该考虑：各个评价指标的作用与重要程度评价目的与评价的重点确定权数的方法有多种，如等权法、离差权法、和积法、层次分析法、线性分割法、特征值方法、经验判断法、概率法等等。本案例采用线性分割法。2020/6/2181、确定权重2020/6/219全员劳动生产率（活劳动）百元产值占用流资（资金占用）流动资金周转期（资金占用）百元固资提供利税（物化劳动）产值利税率（全部劳动）增加值率（全部劳动）资金利税率（全面状况）销售收入利润率（全面状况）第一层次平均权数Y1第二层次平均权数Y2第三层次平均权数Y3约束条件：4Y1+2Y2+2Y3=1层次差异：设为等差，差值为0.06，即Y2-Y1=Y3-Y2=0.06解答结果：Y1=0.08，Y2=0.14，Y3=0.20结果使用：若层内指标重要性差异小，即可使用上述权数；反之在层内再分配。权重向量A=（0.08，020，0.14,0.20,0.08,0.08,0.08，0.14）2、确定各评价指标的隶属函数隶属函数是表明某事物隶属于某种特性的规律和程度。本案例中隶属函数的意义是某项经济效益指标隶属于“好”的程度，其具体取值就是隶属度。隶属度越大，表明经济效益隶属于“好”的程度就越高，反之，越小。建立隶属函数的方法有多种。从本质上讲，隶属函数的确定过程是客观的，但有允许有一定的认为技巧。隶属函数的确定可以通过多种途径：模糊统计实验二元对比排序概率统计推理与人为设定2020/6/220（1）全员劳动生产率的隶属函数全员劳动生产率在一定时期内随着科技进步，管理水平提高，劳动手段改进，劳动者素质的提高，原材料新能的改善等，是可以不断得到提高的。因此，它是一个线性递增的变化形态，是正指标，可以用一般的线性递增函数来作为其隶属函数。根据全员劳动生产率的特点，可以采用梯形分布来拟合其隶属函数：六个企业全员劳动生产率隶属于经济效益“好”的程度（或对的贴近度）为：2020/6/2211min1maxmin()Axxxxxmaxx(1)(1,0,0.58,0.73,0.10,0.09)R(2)资金利税率的隶属函数资金利税率越高，经济效益越好。资金利税率的边际增长率是递减的，其变化规律符合“升半哥西分布”。但其隶属函数则不能使用该分布。由于资金利税率提高难度越来越大，资金了利税率达到一定程度后再有提高，说明经济效益更好，应给于更大的隶属度。所以，本案例采用指数分布来拟合其隶属函数。但隶属度必须小于1，故考虑以一个常数K来对其修正：（本案例取K=1/2）六个企业资金利税率隶属于经济效益“好”的程度分别为：2020/6/222222()xAxke(2)(0.65,0.67,0.66,0.66,0.65,0.62,0.70)R(3)产值利税率的隶属函数设是给定论域的一个表示产值利税率方面经济效益的模糊子集，其隶属函数定义为产值利税率的变化特征与资金利税率近似，其隶属函数也可采用指数分布：（本案例取K=3/5）六个企业资金利税率隶属于经济效益“好”的程度分别为：2020/6/223333()xAxke(3)(0.73,0.76,0.76,0.79,0.79,0.80)R3A(0,100)VR33()Ax(4)销售收入利润率的隶属函数设是给定论域的一个表示销售收入利润率方面经济效益的模糊子集，其隶属函数定义为销售收入利润率的变化特征与资金利税率近似，其隶属函数也可采用指数分布：（本案例取K=2/3）六个企业资金利税率隶属于经济效益“好”的程度分别为：2020/6/2244A(0,100)VR44()Ax444()xAxke(4)(0.75,0.76,0.76,0.79,0.79,0.80)R(5)百元产值占用流资的隶属函数设是给定论域上的一个表示百元产值占用流资方面经济效益的模糊子集，其隶属函数定义为。百元产值占用流资是一个逆指标，指标值越大，经济效益越差。为了鼓励企业努力降低该指标，在确定隶属函数时，应该做到占用的流资越大，其隶属度应该越小；反之，越大。按照这个要求，该指标的隶属函数应该服从“降半哥西分布”：2020/6/2255AVR55()Ax(5)百元产值占用流资的隶属函数，K为一任意常数。通过测算，K=0.05为宜，a=18。六个企业百元产值占用流资隶属于经济效益“好”的程度分别为：2020/6/2265551()1()Axkxa0xa(5)(0.91,0.70,0.63,0.65,0.40,0.84)R(6)百元固资提供利税额的隶属函数设是给定论域上的一个表示百元固资提供利税额方面经济效益的模糊子集，其隶属函数定义为。该指标的变化特