复数的概念及运算(公开课)

复数的概念知识引入对于一元二次方程没有实数根．012x我们已知知道：12x我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考？引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：ii（1）它的平方等于－1，即12i虚数单位（2）为了解决负数开方问题，i1-（3）12xixi21-44-i31-33-虚数实数可以与i进行四则运算．即：将实数a和数i相加记为:a+i；把实数b与数i相乘记作:bi；将它们的和记作:a+bi(a,b∈R),复数全体所组成的集合叫复数集,用字母C表示1.复数：把形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数)R,,|{babiazzC其中一.复数的有关概念ìïíïî实数复数虚数虚部实部用z表示复数,即z=a+bi(a,b∈R)叫做复数的代数形式2.复数的代数形式：规定:0i=0,0+bi=bi3.两个复数相等有两个复数z1=a+bi(a,b∊R)和z2=c+di(c,d∊R)a+bi=c+dia=c且b=d注意若z1,z2为虚数，z1与z2只有相等或不相等两关系，而不能比较大小虚数不能比较大小❗4.复数的分类：RC实数集R是复数集C的真子集，复数z=a+bi(a,bR)实数(b=0)虚数(b≠0)纯虚数(a=0)非纯虚数(a≠0)1.说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部与虚部31i201iii)32(i2练习:5.复数的几何意义：5－复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi5.复数的几何意义：点Z(a,b)叫做表示复数z=a+bi的点复数z=a+bi一一对应平面向量OZxyobaZ(a,b)z=a+bi以(a,b)为坐标的向量叫做表示复数z=a+bi的对应向量6.复数的模：z=a+bi则：22|z|ba7.z的共轭复数z=a+bi则：zabi=-1．若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是_____解析：xi-y＝3＋4i∴x＝4y=-3∴|x＋yi|=5例2如图10-2-1，在复平面内，点A表)示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(A．AB．BC．CD．DB例2已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。020622mmmm解：由1223mmm或得)2,1()2,3(m复数运算(1)复数的加、减、乘运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝______________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________________；a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)复数的运算律z1＋z2＝______，(z1＋z2)＋z3＝___________.z1·z2·z3＝_______z1·(z2＋z3)＝_____________z2＋z1z1＋(z2＋z3).z1·(z2·z3)z1·z2＋z1·z31.已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝_______解析：(2＋i)(3＋i)＝6－1＋3i＋2i＝5＋5i.2.已知i是虚数单位，则i＋i2＋i3＋.....＋i100＝_______解析：i=ii2=-1i3=-ii4=1∴i＋i2＋i3＋i4＝0i5＋i6＋i7＋i8＝0∴i＋i2＋i3＋.....＋i100＝03.已知i是虚数单位，则(1＋i)10＝_______解析：(1＋i)2＝2i(1＋i)4＝-4(1＋i)8＝16∴(1＋i)10＝(1＋i)8(1＋i)2＝32i④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝（ac＋bd）＋（bc－ad）ic2＋d2(c＋di≠0).练习：若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为_____解析：|4＋3i|＝5，则z＝53－4i＝53＋4i3－4i3＋4i＝53＋4i25＝35＋45i，其虚部为45.例1：设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为_________解析：复数a－103－i＝a－103＋i3－i3＋i＝a－3－i是纯虚数，则a－3＝0，a＝3.1若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则______z=解析：由题意，得z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝i(1－i)＝1+i1zi\=-例已知：z=1＋2i1－i2则|z|=______解析：1＋2i1－i2＝1＋2i－2i＝－2＋i2＝－1＋12i.15||142z\=+=