第二章-线性系统的数学模型

第二章线性系统的数学模型内容提要实际存在的自动控制系统可以是电气的、机械的、热力的、化工的，甚至是生物学的、经济学的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同。本章介绍了系统的各类数学模型如微分方程，传递函数，方框图，信号流图的求取以及它们之间的相互关系。最后介绍用MATLAB求取系统的数学模型。知识要点线性系统的数学模型，拉普拉斯变换，传递函数的定义，非线性特性的线性化处理，方框图的简化，梅逊公式的含义和应用。描述控制系统输入、输出变量及内部变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。★描述控制系统的输入－输出变量数学模型:微分方程、传递函数、方框图、频率特性★描述控制系统的内部变量数学模型：状态空间建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。说明◆要分析自动控制系统的性能，必须先建立该系统的数学模型；◆一个物理系统，要处理的问题或要达到的精度不同，得到的数学模型也不同。§2－1微分方程主要内容§2－2传递函数§2－3典型环节的传递函数及动态响应§2－4方框图§2－5反馈控制系统的传递函数§2－6状态空间§2－1微分方程对于线性定常系统,可以用线性常系数微分方程作为其数学模型，如a0dnc(t)/dtn+a1dn-1c(t)/dtn-1+…＋anc(t)=b0dmr(t)/dtm+b1dm-1r(t)/dtm-1+…+bmr(t)c(t):系统的输出；r(t):系统的输入；a0……an;b0……bm均为实数，均由系统本身的结构参数所决定的，且n为系统的阶数，n≥m。建立微分方程的一般步骤(1)根据要求，确定输入量和输出量；(2)根据各变量间的物理关系，增设中间变量，围绕输入量、输出量及中间量，列微分方程组。(3)消去中间变量，整理出只含有输入量和输出变量及其各阶导数的微分方程；(4)标准化，将输出量及其各阶导数放在等号左边，将输入量及其各阶导数放在等号右边，各阶导数项按阶次由高到低排列。电气系统电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。无源网络：由无源元件组成的电气网络。不含电源的器件：R、L、C等。有源网络：包含有源元件的电气网络。含电源的器件：运算放大器。电气系统列写电气网络的微分方程要用到以下规律：KCL电流定律：0iKVL电压定律：0u元件的伏安关系：RRRiudtdiLuLLdtduCiCC理想运算放大器：虚短、虚断例2.1如图RLC电路，建立输入ui(t)和输出uo(t)的微分方程模型。ui(t)uo(t)RLCi(t)解根据基尔霍夫定律和元件电流与电压的关系：)()()()(tutudttdiLtRiicdttduCtio)()()()()()(22tutudttudLCdttduRCiooo整理后：)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo——二阶线性常系数微分方程，对应二阶线性定常系统。上式也可以写成：)()()()(22221tutudttduTdttudTTiooo令：RLT1RCT2例2.2由理想运算放大器组成的电路如下，建立输入ui(t)和输出uo(t)的微分方程模型。uo(t)＋－∞ui(t)RRC理想运放正、反相输入端的电流为0，电位相同。0)()(dttduCRtuoi整理得：0)()(dttduCRtuoi)()(tudttduRCio或)()(tudttduTio式中：T＝RC称为时间常数。——一阶线性常系数微分方程，对应一阶线性定常系统。例2.3直流它励电动机，电枢输入电压ua(t)，电动机输出转速为n(t)。Ra，La，ia(t)分别为电枢电路的电阻、电感和电流；if为恒定励磁电流；ea(t)为电枢反电动势。ua(t)RaLaMifia(t)ea(t)ωTe(t)TL(t)解：电枢电路电压平衡方程)()()()(tedttdiLtiRtuaaaaaaua(t)RaLaMifia(t)ea(t)ωTe(t)TL(t)式中：)()(tnCteeaCe电动势常数（2-1）（2-2）Mifia(t)ea(t)ωTe(t)TL(t)转矩平衡方程)()()()(tTtfndttdnJtTeLf——电枢及负载折算到电机轴上的粘性摩擦系数。J——电枢及负载折算到电机轴上的转动惯量。空载转矩RaLadttdnJ)(——电机在加速或减速时的转矩。负载转矩ua(t)若忽略摩擦系数（f＝0），则)()()(tTdttdnJtTLeameiCtT)(又，Cm——电动机转矩常数。LmLiCtT)(负载转矩折算成电磁转矩的形式。)()()(tidttdnCJtiLma（2-3）)()()()(tedttdiLtiRtuaaaaaa)()(tnCteea)()()(tidttdnCJtiLma将式(2-2)、(2-3)一起代入式(2-1)中，消去中间变量得：)()()()()()(22tiRdttdiLtutnCdttdnCJRdttndCJLLaLaaemama令：（机电时间常数）meamCCJRtT)(（2-2）（2-1）（2-3）令：（机电时间常数）meamCCJRtT)(aaiRLtT)(（电磁时间常数）)()()()()()(22tiRdttdiLtutnCdttdnCJRdttndCJLLaLaaemamadttditiJCTtuCtndttdnTdttndTTLLmmaemim)()()(1)()()(22负载扰动输入输出§2－2传递函数一.定义对于线性定常系统,我们可以用线性常系数微分方程作为其数学模型，如a0dnc(t)/dtn+a1dn-1c(t)/dtn-1+…＋anc(t)=b0dmr(t)/dtm+b1dm-1r(t)/dtm-1+…+bmr(t)c(t):系统的输出；r(t):系统的输入；a0……an;b0……bm均为实数，均由系统本身的结构参数所决定的，且n≥m。（2-4）a0dnxo(t)/dtn+a1dn-1xo(t)/dtn-1+…＋anxo(t)=b0dmxi(t)/dtm+b1dm-1xi(t)/dtm-1+…+bmxi(t)令xo(t)和xi(t)及其各阶导数在t=0－时的值为零,（a0Sn+a1Sn-1+…+an-1S+an)Xo(S)=(b0Sm+b1Sm-1+…+bm-1S+bm)Xi(S)经过整理得：（2-5）（零初始条件）两端拉氏变换得到以复变量S为自变量的代数方程：传递函数的定义：零初始条件下系统输出与输入函数的拉氏变换之比为系统的传递函数。(1)Xo(S)=G(S)Xi(S)，信号传递的性质。用方框图表示：Xi(S)G(S)Xo(S)（2-5）传递函数有如下性质：传递函数的性质（2）G(S)是零初始条件下输出和输入拉氏变换之比。把以时间变量X(t)表示的输出输入间的微分方程，变换为以复变量X(S)表示以S为变量的代数方程后，表示成S多项式之比。（3）传递函数由系统本身的结构和参数决定，与系统的输入、输出无关。（4）由于拉氏变换只是线性定常微分方程的数学变换，故传递函数仅为线性定常系统的数学模型。二.传递函数的零点和极点将式(2-5)的分子、分母多项式分解为一阶因子，得到：)())(()())(()()()(2121nmiopspspszszszsKsXsXsG式中：K为比例系数;z1…zm称为传递函数的零点;p1…pn称为传递函数的极点。（2-5）（2-6）零点和极点是在复数平面上的点，因此可以是实数（在实轴上），也可以是复数，如为复数必为共轭出现。例：1346)(2SSSSG以零极形式表示，并在复平面上标出。)32)(32(6)(jSjSSSGS1、S2=-2±j3为一对共轭复数极点。Imj3-j3Re-2－6S1S2解：G(S)的零极形式为：建立例2-1的传递函数数学模型，对微分方程两端取拉氏变换并定义零初值（今后求传递函数概包含零初值条件）：例题回顾(LCS2+RCS+1)U2(S)=U1(S)例2－1)()()()(122222tutudttduRCdttudLCG(S)=U2(S)/U1(S)=112RCSLCS可以用方框图表示：112RCSLCSU1(S)U2(S)以求出例2-3的电机系统电枢电压与转速间的传递函数。要求以变量传递方式逐步推导，再以方框图形式连接。例题回顾例2－31.由式(2-1)可得电流和输入电压间的传递函数：(LaS+Ra)Ia(S)=Ua(S)-Ea(S))()()()(tedttdiLtiRtuaaaaaa)()(tnCteea)()()(tidttdnCJtiLma（2-2）（2-1）（2-3）(LaS+Ra)Ia(S)=Ua(S)-Ea(S)1/11)()()(STRRSLSESUSIiaaaaaa上式可以用方框图（1）表示：Ua(S)Ia(S)1/RaEa(S)2.由式(2-2)可得传递函数：Ea(s)=CeN(S)画方框图（2）)()(tnCteea（2-2）Ea(s)=CeN(S)画方框图（2）N(S)CeEa(S)3.由式(2-3)可得传递函数：)()()(tidttdnCJtiLma（2-3）)()()(SISSNCJSILmaSTCRSISISNmeaLa/)()()(画方框图（3）STCRSISISNmeaLa/)()()(Ra/CeTmSIL(S)Ia(S)N(S)将方框图（1）、（2）、（3）按变量关系连接，得到系统传递函数方框图Ua(S)Ia(S)1/RaEa(S)N(S)CeEa(S)Ra/CeTmSIL(S)Ia(S)N(S)1/RaTiS+1Ua(S)Ea(S)CeIa(S)IL(S)Ra/CeTmSN(S)§2－3典型环节的传递函数及动态响应系统由环节构成，典型环节有：一.比例环节——实际上是一个增益可调的放大器X0(t)=KXi(t)传递函数X0(S)/Xi(S)=K（2-7）Ui(S)U0(S)Kui(t)u0(t)R1R2ui(t)R0R1u0(t)K=R2/R1+R2K=-R1/R0二.惯性环节惯性环节具有一个储能元件，如：ui(t)Ri(t)LLdi(t)/dt+Ri(t)=ui(t)R0(C*du0/dt+u0/R1)=ui1/1)()(TSRSUSIi(T=L/R)ui(t)R0R1Cu0(t)11/)()(1010TSKCSRRRSUSUi(T=R1C)从上述两例，惯性环节的典型传递函数是：1)()()(0TSKSXSXSGi（2-8）比例系数时间常数Xi(S)1TSKX0(S)1)()()(0TSKSXSXSGi（2-8）如果输入Xi(t)=1(t)为单位阶跃函数,Xi(S)=1/S，则输出：)/111(11)(0TSSKSTSKSX求拉氏反变换得：)1()]([)(/010TteKSXLtx令K=1，作出惯性环节在单位阶跃信号作用下的响应曲线:)1()]([)(/010TteKSXLtx0.632Tx(t)0txi(t)x0(t)1三.积分环节e(t)ωθdttdKte)()(dtteKt)(1)()()(sKssEKssEssG1)()()(RudtduCiodttuRCtuio)(1)()(1)(0sURsCsUiRCsCsRsUsUsGio1/1)()()(RCui(t)u0(t)从上述两例，积分环节的典型传递函数是：TSSXSXSGi1)()()(0Xi(S)TS1X0(S)设积分环节有单位阶跃输入Xi(S)=1/S:201111)(STSTSSXtTSXLtx1)]([)(010T10xi(t)x0(t)t四.微分环节i(t)u(t)Lu(t)=Ldi/dtU(S)=LS