线性控制系统的能控性和能观测性

2020年6月1日4时23分11.线性连续定常系统的能控性2.线性连续定常系统的能观测性3.对偶原理4.能控和能观测标准型5.线性系统的结构分解6.传递函数的最小实现7.传递函数（SISO）和能控（观测）性的关系第三章线性控制系统的能控性与能观测性2020年6月1日4时23分2能控性和能观测性基本概念：状态空间描述的两段性：20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。状态方程：描述了输入引起的状态变化输入能够控制状态（控制问题）输出方程：描述了状态变化引起的输出改变状态能否由输出反映（估计问题）[背景]：2020年6月1日4时23分3直观概念:系统的结构图如下1x2x1s1s23yu显然，只能控制而不能影响，我们称状态变量是可控的，而是不可控的。只要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。u1x2x1x2x能控性：指外输入u(t)对系统状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题有些状态分量能受输入u(t)的控制，有些则可能不受u(t)的控制。受u(t)控制的状态为能控状态，不受u(t)控制的状态为不能控状态2020年6月1日4时23分4指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。能观测性：有些状态能通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能。能通过y(t)反映的状态为能观状态，不能通过y(t)反映的状态为不能观状态直观概念:系统结构图如下uy1x1x2x2x1s1s32显然输出中只有，而无，所以从中不能确定，只能确定。我们称是可观测的，是不可观测的。y2x1x1x2x1x2xy2020年6月1日4时23分5第一节线性连续定常系统的能控性1.状态能控性严格定义2.状态能控性判别准则（3种）2020年6月1日4时23分6一、状态能控性定义如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在的有限时间内使得系统的某一初始状态转移到任一终端状态，则称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，即能控状态充满整个状态空间，则称系统是状态完全能控的。],[0ftt)(0tx)(ftx不失一般性，常选择终止状态为状态空间原点。即：0)(ftx2x1x1ppnp2p02020年6月1日4时23分7二、状态能控性判别准则1、判据一（能控性判别矩阵）定理1：对于线性连续定常系统：状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：BuAxx][12BABAABBQncnBABAABBrankrankQnc][12满秩即：[证明]：证明目标：对系统的任意的初始状态，能否找到输入u(t)，使之在的有限时间内转移到零。则系统状态能控。],[0ftt)(0tx0)(ftx2020年6月1日4时23分8ttdButtxtttx0)()()()()(00已知：线性定常非齐次状态方程的解为：fttdButtx0)()()(00（2）整理（1）式有：0)()()()()(000fttfffdButtxtttx将代入上式：ftt（1）10)()(njjjtAAtae由凯莱－哈密顿定理有：100)(0)()(0njjjtAAtaet（3）2020年6月1日4时23分9fffffttnnttttttjnjjttnjjjdutaBAdutaABdutaBdutaBAdBuAtatx00000)()()()()()()()()()()(01101000101000（4）将（3）式代入（2）式得：1,1,0,)()(00njdutaUfttjj（5）令：（6）将（5）式代入（4）式得：UQUUUBAABBBUAABUBUtxcTTTTnnnn110111100)()(2020年6月1日4时23分10由以上可以看出式(6)中各参数维数如下：维向量为维为维向量为维为维为维向量为1nrU1rUnrnQrnABrnB1ntxjc,,,)(0TcccQrankQrankQ[说明]：维数较大时，注意使用矩阵秩的性质式(6)是关于U的非齐次方程组。由线性代数知识知道，其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：)()(0txQrankQrankcc由于x(t0)任意，所以，必须有：nQrankc)([证毕]2020年6月1日4时23分11uxxxxxx102101110221321321[例]判别如下系统的能控性500114101110221114102101110221,1022BAABB[解]：1）构造能控性判别矩阵：故系统状态完全可控3511010042rankrankQc2）求能控性判别矩阵的秩2020年6月1日4时23分1221321321111112310020231uuxxxxxx[例]判别如下线性连续定常系统的能控性[解]：故系统状态不完全能控。32000424249494959424249424249494959442211442211452312442211442211452312]))([(11rankrankrankBAABBBAABBrankQrankQrankQTTnnTccc2020年6月1日4时23分132、判据二（标准型法）[前提条件]：线性变换不改变系统的能控性。则有：)()(ccQrankQrankBABAABBPBAPBAPABPBPBPAPPBPAPPAPPBPAPPBPBABABABQnnnnc12111211111111111112)()())()(()()(1:DuCxyBuAxxxPx其中：DDCPCBPBAPPA,,,112:uDxCyuBxAx[证明]：对于变换后的方程，其能控性判别阵为：22020年6月1日4时23分14BABAABBrankPQranknc121)(由于P为非奇异满秩阵，则也为满秩阵。根据矩阵和一个满秩的乘积其秩不变的性质有：1PcnncQrankBABAABBrankBABAABBrankPQrank12121)([证毕]定理2：设线性系统具有两两相异的特征值则其状态完全能控的充分必要条件是：系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：BuAxxn,...,,21uBxxn0021中，不包含元素全为0的行。B2020年6月1日4时23分15说明：定理2说明设2阶系统的对角线标准型为：2121,00bbBA则根据定理1有：222111bbbbABBQc要使系统能控，则必有：0)(||1221222111bbbbbbQc由于互异，故：0,021bb且21,说明：对角线标准型形式下，各变量间没有耦合关系，从而影响每一个状态的唯一途径是通过输入。B中的某一行元素全为0，就意味着此输入对状态没有影响。推广到n阶系统就有定理2（注：系统有重根，但仍能变成对角线标准型，则定理2不成立。例如，当上面说明中时，此时Qc的行列式为0，Qc为奇异阵。）122020年6月1日4时23分16uxxxxxx7521000500073213211）[例]：考察如下系统的能控性：uxxxxxx570410100050007321321状态完全能控3）状态完全能控uxxxxxx902100050007321321状态不完全能控X2状态不能控2）2020年6月1日4时23分17中，阵中与每个约当小块最后一行所对应的元素不全为零。定理3：设线性系统具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：BuAxxuBxJJJxk~~00~21B~),...,2,1(kiJi2020年6月1日4时23分18说明：定理3说明设2阶系统的约当标准型为：2111,01bbBA根据定理1：1222111bbbbbABBQc要使系统能控，则必有：0||221222111bbbbbbQc即：02b推广到n阶系统就有定理3。2020年6月1日4时23分19推论1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MI系统，其能控性判据为同一个特征值对应的每个约当块的最后一行所对应的B中的行向量是否是行线性无关，是则状态能控，否则状态不能控。42412221bbbb如果行线性无关，则状态能控含义：ubbbbbbbbxxxxx424132312221121143211111010001对于：2020年6月1日4时23分20uxxxxxxxx010000200101101100401443214321状态完全能控状态完全能控uxxxxxx340200040014321321[例]：考察如下系统的状态能控性：推论2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SI系统，系统状态必不能控。此时，如果某个特征值对应的约当块最后一行所对应的B中的行，有一行为0，则此行对应状态必不能控，如果这些行都不为0，则此时这些行必线性相关，所以状态不能控。2020年6月1日4时23分21uxxxxxxxx231000321101401400401443214321状态完全能控B中2、4行线性无关uxxxxxx030024200040014321321状态不完全能控X2状态不能控uxxxxxxxx963000321101401400401443214321状态不完全能控B中2、4行线性相关2020年6月1日4时23分22uxxxxxxxx