复合函数求导法则及其应用

70习题4.4复合函数求导法则及其应用⒈求下列函数的导数：⑴yxx()2122；⑵yxxesin23；⑶yx113；⑷yxxln；⑸yxsin3；⑹yxcos；⑺yxxx11ln()；⑻yxarcsin(e)2；⑼221lnxxy；⑽yxx1222(sin)；⑾yxxx1122ln；⑿yxx12csc；⒀yxx2213312334；⒁yxesin2；⒂yxaxxax2222.解（1）)14)(12(2)'12)(12(2'222xxxxxxxy。（2）)3sin23cos3(3sin)'()'3(sin'222xxexexeyxxx。（3）23323233)1(23)'1()1(21'xxxxy。（4）212'21ln2ln1lnln21'xxxxxxxxy。（5）3233cos3)'(cos'xxxxy。（6）xxxxy2sin)'(sin'。71（7）1(1)'(1)''211xxxyxxx=11212121(1)xxxxx=1121(1)xxxxx。（8）222222(e)'2e'1(e)1exxxxxy=1222xex。（9）4424(1)'1'[ln(1)ln(]'21xyxxxx=4422(1)xxx。（10）2232(2sin)''(2sin)xxyxx=32)sin2()cos4(2xxxx。（11）222222(1ln)'1(1ln)(1)''(1)xxxxxxyxx=2322222)1()21)(ln1(ln)1(2xxxxxx。（12）222'1csc(1csc)''1cscxxxxyx222221(cotcsc)(2)1csc21csc1cscxxxxxxx22223221csccsccot(1csc)xxxxx。（13）323423'()'()'2131yxx4523234112()(21)(4)3()(31)(9)34xxxx4522334827(21)(31)34xxxx。（14）2sin2'e(sin)'xyx2sinsin2xxe。72（15）2222()'()'xaxxyax2222222231(1)()(2)312()xaxxaxaxax42242322223()xaxaaax。⒉求下列函数的导数：⑴yxlnsin；⑵)cotln(cscxxy；⑶axaxaxyarcsin21222；⑷yxxaln()22；⑸yxxaaxxa1222222(ln().解（1）1'(sin)'cotsinyxxx。（2）(csccot)''csccotxxyxx2cotcsc(csc)csccsccotxxxxxx。（3）222221''()'(arcsin)'2xyxaxxaxaa222222111(2)()221xaaxxaaxxa22222,0,,0.axaxaax。（4）2222()''xxayxxa2222212xxaxxa221xa。（5）2222222221()''['()']2xxayxxaxxaaxxa222222222112xxxaxaxaxaxxa=22ax。⒊设fx()可导，求下列函数的导数：73⑴fx()23；⑵xfln1；⑶fx()；⑷)(tanarcxf；⑸ffex(())2；⑹sin((sin))fx；⑺)(1xff；⑻1ffx(()).解（1）333222()''()()'fxfxx=)('323231xfx。（2）111'lnlnlnffxxx=)ln1('ln12xfxx。（3）1[()]'[()]'2()fxfxfx=)(2)('xfxf。（4）21[arctan()]'[()]'1[()]fxfxfx=)(1)('2xfxf。（5）222[(())]''(())[()]'xxxffeffefe222'(())'()()'xxxffefee=))((')('2222xxxeffefxe。（6）[sin((sin))]'cos((sin))((sin))'fxfxfxcos((sin))'(sin)(sin)'fxfxx=xxfxfcos)(sin'))(sincos(。（7）111'()()()fffxfxfx=)(1')()('2xffxfxf。（8）21'(())[()]'(())(())ffxfxffxffx=2))(()('))(('xffxfxff。⒋用对数求导法求下列函数的导数：⑴yxx；⑵xxxy13sin；⑶yxxcos；⑷yxxln()21；74⑸yxxx1123；⑹yxxiin()1；⑺yxxsin.解由于'(ln)'yyy，所以'(ln)'yyy。（1）lnlnyxx,'(ln)'['ln(ln)'](1ln)xyyyyxxxxxx。（2）31lnlnsinyxxx，3311'(ln)'lnsinlnsin'yyyyxxxxxx=233213)sinln()sin(cos3)sin(xxxxxxxxxxx。（3）lnlncosyxx，'(lncos)'['lncos(lncos)']yyxxyxxxx=xxxxxcostancosln。（4）lnlnln(21)yxx，'['lnln(21)(lnln(21))']yyxxxx=)12(ln)12ln()12(2)12ln(lnxxxxxx。（5）2311lnlnln(1)ln(1)22yxxx，2311'[(ln)'(ln(1))'(ln(1))']22yyxxx=)1(23111132232xxxxxxxx。（6）1lnln()niiyxx，751'[ln'()]niiyyxx=niniiixxxx111)(。（7）令,lnlnxuxuxx，则ln12ln'[()'ln(ln)']()()22xxuuxxxxuuxxx，于是，'(sin)'()'yuu=xxxxxxcos2ln2。⒌对下列隐函数求dydx：⑴yxytanarc；⑵yxye1；⑶xyyxcossin；⑷xyyln()10；⑸exyxy220；⑹0)tan(xyyx；⑺20yxxysinln；⑻xyaxy3330.解（1）在等式两边对x求导，得到2'''(arctan)'11yyxyy，解得'y=221yy。（2）在等式两边对x求导，得到''''(1)0yyyyyxexeyyxee，解得'yyyxee1。（3）等式两边平方，再对x求导，得到761sin()'2(sin)(cos()'1)yyyxyy，解得'yyyxyxysincos)(sin2)(sin21。（4）在等式两边对x求导，得到1''[ln(1)]'''01xyxyyyxyyy，解得'yxyxyy12。（5）在等式两边对x求导，得到22222()'()'(2')(2')0xyxyexyxyexyyxyy，解得2222'2xyxyxeyyexy。（6）在等式两边对x求导，得到22sec()()'()'sec()(1')(')0xyxyxyxyyyxy，解得22sec()'sec()xyyyxxy。（7）在等式两边对x求导，得到'2'sin2(sin)'(ln)'2'sin2cosln0yyxyxxyyxyxyxy，解得7722cosln'2sinyxyyyxyx。（8）在等式两边对x求导，得到222233'3'3'3('')0xyyaxyaxyxyyayaxy，解得22'ayxyyax。6．设所给的函数可导，证明：⑴奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数；⑵周期函数的导函数仍是周期函数。证⑴设()fx为奇函数，则00()()[()][()]'()limlimxxfxxfxfxxfxfxxx0(())()lim'()()xfxxfxfxx；设()fx为偶函数，则00()()()()'()limlimxxfxxfxfxxfxfxxx0(())()lim'()()xfxxfxfxx。（2）设()fx是周期为T的函数，则00(())()()()'()limlim'()xxfxTxfxTfxxfxfxTfxxx。7．求曲线1lnyxy在)1,1(M点的切线和法线方程。解对方程两边求导，得到''0yyxyy，解得2'1yyxy，将(1,1)代入得到1'(1)2y。于是切线方程为11(1)2yx，即78230xy，法线方程为12(1)yx，即210xy。8．对下列参数形式的函数求dydx：⑴;,32btyatx⑵;,132ttytx⑶;cos,sin22ttyttx⑷;e,ettbyax⑸;sin,cos33taytax⑹;ch,shbtyatx⑺;1,1ttyttx⑻;1,1tytx⑼;sine,cose2222tytxtt⑽.tanarc),1ln(2ttytx解：（1）2'33'22dyybtbtdxxata。（2）22'1331'22dyyttdxxtt。（3）22'2cossin2cossin'2sincos2sincosdyytttttttdxxttttttt。（4）2''()tttdyybebedxxaea。（5）22'3sincos'3cos(sin)dyyattdxxatt=ttan。（6）'sh'chdyybbtdxxaat。79（7）1212'(1)'1'(1)'dyyttdxxtt。（8）1'1211'121dyyttdxxtt。（9）222222'2sin2sincos(sincos)tan'2cos2cos(sin)sincosttttdyyetetttttdxxetetttt。（10）2211'12'21dyytttdxxt。9．求曲线3212tttx，3212ttty上与1t对应的点处的切线和法线方程。解将1t代入参数方程，有31,22xy。经计算，23233223232(2)'(1)(2)(1)'(22)(1)(2)3'((1)(1)tttttttttttxttt)34