2016年甘肃省兰州市中考数学试卷及解析

12016年甘肃省兰州市中考数学试卷及解析一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。1.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】主视图是从正面看到的图形，从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选A.2.反比例函数的图像在（）（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限【答案】B【解析】反比例函数的图象受到k的影响，当k大于0时，图象位于第一、三象限，当k小于0时，图象位于第二、四象限，本题中k＝2大于0，图象位于第一、三象限，所以答案选B.3.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）（A）34（B）43（C）916（D）169【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为34，即对应中线的比为34，所以答案选A.4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，BC＝6，则AB＝（）2（A）4（B）6（C）8（D）10【答案】D【解析】在Rt△ABC中，sinA＝BCAB＝6AB＝35，解得AB＝10，所以答案选D.5.一元二次方程的根的情况（）（A）有一个实数根（B）有两个相等的实数根（C）有两个不相等的实数根（D）没有实数根【答案】B【解析】根据题目，∆＝＝0,判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选B.6.如图，在△ABC中，DE∥BC，若ADDB＝23，则AEEC＝（）（A）13（B）25（C）23（D）35【答案】C【解析】根据三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例，得AEEC＝ADDB＝23，所以答案选C.7.如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50º，则∠BOC＝（）（A）40º（B）45º（C）50º（D）60º【答案】A【解析】在△OAB中，OA＝OB，所以∠A＝∠B＝50º.根据垂径定理的推论，OC平分弦AB所对的弧，所以OC垂直平分弦AB，即∠BOC＝90º−∠B＝40º，所以答案选A.8.二次函数化为的形式，下列正确的是（）（A）y=(x+1)2+2（B）y=(x-1)2+3（C）y=(x-2)2+2（D）y=(x-2)2+4【答案】B【解析】在二次函数的顶点式y＝a(x-h)2+k中，h=-2ba=-22=1,k=244acba=1644=3，3所以答案选B.9.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长。设原正方形的空地的边长为xm,则可列方程为（）【答案】C【解析】设原正方形边长为xm，则剩余空地的长为(x－1)m，宽为(x－2)m，面积为(x－1)×(x－2)＝18.10.如图，四边形ABCD内接于⊙O,四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC=（）（A）45º（B)50º（C）60º(D)75º【答案】C【解析】连接OB,则∠OAB＝∠OBA,∠OCB＝∠OBC，∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠OAB=∠OCB，∴∠OBA＝∠OBC，∴∠ABC＝∠OBA＋∠OBC＝∠AOC，∴∠ABC＝∠AOC＝120º，∴∠OAB＝∠OCB＝60º，连接OD，则∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC，由四边形的内角和等于360º可知，∠ADC＝360º－∠OAB－∠ABC－∠OCB－∠OAD－∠OCD，∴∠ADC＝60º.11.点均在二次函数的图像上，则的大小关系是（）4【答案】D【解析】将P1,P2,P3坐标分别代入二次函数，可知y1=y2,y3=-15+c，由二次函数的性质可知，该函数图像的顶点坐标为(1,c+1)，且关于x=1对称，在P2到P3为单调递减函数，所以y2y3，所以y1=y2y3.12.如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108º，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）（A）πcm(B)2πcm(C)3πcm(D)5πcm【答案】C【解析】利用弧长公式即可求解.13.二次函数的图像如图所示，对称轴是直线x=-1,有以下结论：①abc0;②;③2a+b=0;④a-b+c2.其中正确的结论的个数是（）(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】C【解析】①a＜0,b＜0,c＞0，故正确；②抛物线与x轴有两个交点，故正确；③对称轴为x＝－1，化简得2a－b＝0，故错误；④当x＝－1时，所对应的y值2,故正确.14.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD＝23,DE＝2,则四边形OCED的面积为（）5【答案】A【解析】∵CE∥BD,DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∴OD＝EC,OC＝DE.∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴OD＝OC.连接OE,∵DE＝2，∴DC＝2，DE＝23，∴四边形OCED的面积为×232DCDE.15.如图，A、B两点在反比例函数的图像上，C、D两点在反比例函数的图像上，AC交x轴于点E,BD交x轴于点F，AC=2,BD=3,EF=则k2-k1=()【答案】A【解析】连接AF，CF，DE，BE，OA，OB，OC，OD，∵S△ACF=S△AOE+S△EOC+S△AOF+S△COF，∴|12k|+|22k|+12·OF·AC=12AC·EF，∵S△EBD=S△DOF+S△BOF+S△EOD+S△EOB，6∴|12k|+|22k|+12·OF·BD=12BD·EF，代入具体数值化简得：22k-12k=63=2，∴k2-k1=4.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.16.二次函数的最小值是.【答案】-7【解析】本题考查二次函数最值问题，可将其化为顶点式.17.一个不透明的口袋里装有若干除颜色外完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球个.【答案】20【解析】本题为概率问题，考查了概率中的相关概念.18.双曲线在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是.【答案】m＜1【解析】根据题意得m-10,则m1.19.ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得ABCD为正方形.【答案】AC＝BD或∠BAD＝90°或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°【解析】由题知四边形ABCD为菱形，所以只需一个角为90度，或对角线相等.20.对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”。如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:交x轴于点M，⊙M的半径为2，7矩形ABCD沿直线l运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为.【解析】四边形ABCD的四个顶点到其对角线交点的距离相等，只有当该交点在圆上时满足题意.三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。21.（本小题满分10分，每题5分）(1)8+(12)-1-2cos45°-(π-2016)0；(2)2y2+4y=y+2.【解】(1)2+1.(2)y1=12,y2=-2.22.（本小题满分5分）如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD.（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）【解】如图，四边形ABCD即为所求。过圆心作直线BD，交⊙O于B、D两点，作线段BD的垂直平分线，交⊙O于A、C两点，连接AD、DC、CB、AB，四边形ABCD即为所求的正四边形.823.（本小题满分6分）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…，8中任意选择一个数字，然后两人各转动一次，如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.若小军事先选择的数是5，用列表法或画树状图的方法求他获胜的概率.【解法1】列表法：小军获胜的概率为416=14.【解法2】画树状图法：小军获胜的概率为416=14.24.（本小题满分7分）如图，一垂直于地面的灯柱，AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢缆ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢缆ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）9【解】设BD=xm，则BC=xm，BE=(x+2)m.在Rt△BDE中，BEDB=tan∠EDB，∴2xx=1.33，x=6.06，∵BEED=sin∠EDB，∴ED=sinEBEDB=26.060.80≈10.1≈10.答：钢缆ED的长度约为10米.25.（本小题满分10分）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.结合小敏的思路作答：（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题的方法，解决一下问题.（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD.①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论.10【解】（1）四边形EFGH还是平行四边形，理由如下：连接AC，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF//AC，EF=12AC.∵G，H分别是CD，AD的中点，∴GH//AC，GH=12AC.∴EF//GH,EF=GH.∴四边形EFGH是平行四边形.(2)①当AC=BD时，四边形EFGH是菱形，理由如下：由（1）可知四边形EFGH是平行四边形，当AC=BD时，FG=12BD，EF=12AC，∴FG=EF，∴四边形EFGH是菱形.②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形.26.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，OAOB，ABx轴于点C，点在反比例函数的图像上.（1）求反比例函数的的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=12S△AOB，求点P的坐标；11（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60º得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图像上，说明理由.【解】（1）∵点A（3，1）在反比例函数y=kx的图像上，∴k=3×1=3，∴y=3x.（2）∵A（3，1），∴OC=3，AC=1.易得△AOC∽△OBC，则OC2=AC·BC，可得BC=3，∴B（3，-3）.∴S△AOB=12×3×4=23.∵S△AOP=12S△AOB，∴S△AOP=3.设P（m,0），∴12×|m|×1=3，∴|m|=23.∵P是x轴的负半轴上一点，∴m=-23，∴P（-23，0）.(3)将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，此时E（-3，-1），点E在反比例函数y=kx的图像上，理由如下：∵(-3)×（-1）=3=k，∴点E在反比例函数y=kx的图像上.1227.（本小题满分10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，ODAB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE＝DC.（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，，求DE的长.【证明】（1）连接OC，则∠A=∠OCA；∵OD⊥AB，∴∠A+∠AEO=90°，∵