第五章-力学量随时间的演化与守恒量

东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿QuantumMechanicsforundergraduates1第五章力学量随时间的演化与守恒量§1力学量随时间的变化在经典力学中，处于一定状态下的体系的每一个力学量作为时间的函数，每一个时刻都有一个确定值；但是，在量子力学中，只有力学量的平均值才可与实验相比较，力学量随时间的演化实质是平均值和测量值的几率分布随时间的演化。一、守衡量力学量ˆA在任意态()t上的平均值随时间演化的规律为ˆˆ1ˆˆ,dAAAHdtti，其中ˆH为体系的哈密顿量。[证明]力学量ˆA的平均值表示为ˆ()(),()AttAt，()At对时间t求导得ˆ()()()ˆˆ,()(),(),()ˆ11ˆˆˆˆ(),()(),()ˆ11ˆˆˆˆ(),()(),()1dAtttAAttAttdttttAHtAttAHtiitAtHAttAHtiitˆˆˆ,AAHitˆ()1ˆˆ,dAtAAHdtit1、守恒量的定义若ˆA不显含t，即ˆ0At，当ˆˆ,0AH，那么力学量ˆA称为守恒量。2、守恒量的性质(1)、在任意态()t上，守恒量的平均值都不随时间变化0dAdt。东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿QuantumMechanicsforundergraduates2(2)、在任意态()t上，守恒量的取值几率分布都不随时间变化。[证明]由于ˆˆ[,]0AH知，存在正交归一的共同本征函数组n（n是一组完备的量子数），即ˆˆnnnnnnHEAA正交归一化条件,nmmn对于体系的任意状态()t可展开为：()()nnntat，展开系数为(),()nnatt在体系的任意态()t上测量力学量ˆA时，得到本征值nA的几率为2|()|nat，而*2*()()()()()()(),,()(),,1()1(),,()(),,11ˆ(),,()nnnnnnnnnnnnnnndatdatdatatatdtdtdtttttttttittiititHttiiˆ(),,()11ˆˆ(),,()(),,()(),,()(),,()0nnnnnnnnnnnntHttHttHtiiEEttttii这表明2|()|nat是与时间无关的量。因而，在任意状态下测量守恒量ˆA时，测得nA的几率2()nat分布不随时间t变化。3、在量子力学中的守衡量具有的特殊性(1)、量子体系的守恒量不一定取确定值，但取值几率分布确定。若体系在0t时，处于ˆA的本征态n，那么以后任何时刻它都处于ˆA的本征态，而测得值为相应的本征值nA。习惯称ˆA的本征值为体系的“好量子数”。若当0t时，体系不处于ˆA的本征态，那么以后任何时刻它将“保持”不处于ˆA的本征态，但“保持”处于ˆA的各本征态的几率分布不变。东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿QuantumMechanicsforundergraduates3(2)、体系的各个守恒量不一定都能同时取确定值。如2ˆˆ()2pHVrm，虽然2ˆˆˆˆ,,,xyzLLLL都是守恒量，但由于ˆˆˆ,,xyzLLL彼此不对易，故不能同时取确定值（角动量0l的态除外）。(3)、在定态下，一切不显含时力学量平均值和测量值的几率分布都不随时间变化---定态的性质。(4)、守恒量在任何意态下的平均值以及测得值的概率分布都不随时间变化-----守恒量的性质。(5)、在定态（ˆH的本征态）下，守恒量不一定取确定值。4、能量—时间测不准关系：根据海森堡测不准关系知：2221ˆˆˆˆ()(),4ABiAB，若取ˆˆBH，则有1ˆˆ,2AEiAH。对于不显含时的算符ˆA，其平均值随时间t变化为：1ˆˆ,dAAHdti。1ˆˆ,222dAAAEiAHEdtdAdt若令AAdAdt，表示在体系中力学量ˆA的平均值变化A所需时间；从而有2AE。这即为能量和时间的测不准关系。显然，当体系处于定态时，0dAdt，则A，而这时0E，即能量有确定值。二、能级简并与守恒量的关系定理：若体系具有两个互相不对易的守恒量，那么体系的能级一般是简并的。[证明]设ˆF和ˆG为体系不对易的两个守恒量，即东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿QuantumMechanicsforundergraduates4ˆˆˆˆ[,]0[,]FHGH，但ˆˆ[,]0FG设为ˆH和ˆF的共同本征态，即ˆˆHEFF。又因为ˆˆ[,]0GHˆˆˆˆˆHGGHEG，则ˆG也是ˆH的对应E的本征态，即对应同一能量值E有两个本征态和ˆG。注意：能量值E是否简并取决于和ˆG是否是同一个量子态？另外，由于ˆˆ[,]0FGˆˆˆˆFGGFˆˆˆˆˆFGGFFGˆˆˆFGFG，这表明ˆG和不是同一个量子态。因此，能量E是简并的。但对特殊的能量本征态0，虽然ˆˆ[,]0FG，但仍有0ˆˆ[,]0FG，那么对应能级的简并消除。[推论1]若体系有一个守恒量ˆF，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本征态E），则E必为ˆF的本征态。证明：ˆEEHE，由于ˆˆ,0HFˆˆˆˆˆEEEHFFHEF，即ˆEF也是ˆH的本征值为E的本征态。又由已知能量本征值E不简并，得到ˆEEFf，即E为ˆF的本征态。[推论2]对于体系的两个守恒量ˆF和ˆG，若ˆˆ[,]()FGC非零常数，则体系所有能级都简并，而且简并度为无穷大。[证明]首先，证明体系所有能级简并。设ˆnnnHE，假定能级nE不简并，则ˆˆˆ[,]0ˆˆ[,]0ˆˆˆ[,]0nnnnnnnFHFFFGGHGG，这与已知ˆˆ[,]0nnFGC相矛盾。所以所有能级都简并。接下来再证明，简并度无穷大。设能级nE的简并度为nf，正交归一化的本征波函数集记为1,2,,nnf，则有ˆ1,2,,nnnnHEf东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿QuantumMechanicsforundergraduates5另外，1,1,1ˆˆˆˆˆˆnnnfffnnnnnntrFGFGFGFG1,1,1ˆˆˆˆˆˆnnnfffnnnnnntrGFGFGFGF当nf取有限值时，有ˆˆˆˆtrFGtrGF即ˆˆ,0trFG，与111ˆˆˆˆ,,0nnnfffnnnnnnntrFGFGCCCf相矛盾。于是nf只能取无穷大值。2、维里定理(VivialTheorem)设处于势场()Vr中的粒子，其哈密顿量为2ˆˆˆ()2pHVrm，粒子的动能在定态上的平均值为12TrV，其中2ˆˆ2pTm，而V代表势能。[证明]体系的哈密顿量为：2ˆˆ()2pHVrm，则有1ˆˆˆˆˆ,drprpHdti，而222111ˆˆˆˆˆ,,2,()11ˆˆˆ,2,()ˆ()rpHrppmrpVriiirpmprpVriiprVrm2ˆ1ˆˆ,()2()prpHrVrTrVrim另外，由于在定态上的一切不显含时的力学量的平均值不随时间变化，知1ˆˆˆˆˆ0,drprpHdti。于是有，ˆ2()TrVr。[特例]当势能为坐标的齐次函数nnnVxyz时，12TnV。东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿QuantumMechanicsforundergraduates6111nnnVVVrVxyzxnxynyznznVxyz12TnV几个常见的特殊情况：(i)、谐振子：221,22Vmxn,有,22TVETV(ii)、库仑势：2,1zeVnr；有11,22TVETV(iii)、势，1n与库仑势相同。§2、波包的运动和恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）本节主要研究波包的运动与经典粒子运动的关系。设质量为m的粒子在势场()Vr中运动，其哈密顿量为：2ˆˆˆ()2pHVrm。下面我们采用波包(,)rt来描述粒子的运动。力学量算符平均值的变化规律的方程：ˆ1ˆˆˆ,dAAAHdtit。当ˆˆAp（动量）时，则有11ˆˆˆ,,()()()dppHpVrVrFrdtii；当ˆˆAr（坐标）时，有ˆ1ˆˆˆ,dprrHdtim221ddprdtmdt22()()drmFrVrdt----恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）。物理意义：体系的坐标平均值的时间导数等于其速度算符的平均值；而其动量算符平均值的时间导数等于作用力的平均值。这就是通常称的恩费斯脱定理。恩费斯脱定理形式相似与经典力学中描述粒子的运动牛顿方程为：22()clcldrmFVrdt。东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿QuantumMechanicsforundergraduates7当()FrFr时，波包中心r的运动规律与经典粒子相同。采用波包描述粒子的运动，在物理上要求如下：(i)、波包必须很窄且波包大小与粒子大小相近，才可用波包描述粒子的运动，(ii)、势能()Vr在空间变化缓慢，使得波包中心的势能Vr与粒子受到的势能()Vr接近；(iii)、波包扩散要很慢。下面以一维波包为例，分析一维波包的运动情况在波包中心x附近，对()Vx作泰勒展开：令xx11()()()()!nnnnVxVxVxVxnx23122311()1()1()()()1()!(1)!2!nnnnnnnnVxVxVxVxVxVxxnxxnxxxx23223()()()1()2!VxVxVxVxxxxx由于0得323()()1()2!VxVxVxxxx当()Vx随x变化非常缓慢，并且2很小时,323()1()2!VxVxxx；因此有()()VxVxxx()()FxFx。由恩费斯脱定理知：22()()()dxVxmFxFxdtx，与经典牛顿力学方程：22()clcldxmFxdt相同。由海森堡最小测不准关系知：2224xxp。当2222xxx较小时，2xp比较大。东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿QuantumMechanicsforundergraduates8所以动量不确定度很大。而这与经典力学的观点相矛盾。所以粒子运动真正能够从量子力学过渡到经典力学，22()ˆxdxVxmFdtx22()clclclcldxVmFxdtx，