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最新人教版九年级数学精品资料设计最新人教版九年级数学精品资料设计1专训2切线的判定和性质的四种应用类型名师点金：圆的切线的判定和性质的应用较广泛，一般先利用圆的切线的判定方法判定切线，再利用切线的性质进行线段和角的计算或论证，在计算或论证中常通过作辅助线解决有关问题．应用于求线段的长1．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．(第1题)应用于求角的度数2．【中考·珠海】如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，C，D，且与AB相切于点A.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)求∠B的度数．(第2题)最新人教版九年级数学精品资料设计最新人教版九年级数学精品资料设计2应用于求圆的半径3．如图所示，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E.(1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；(2)若CE＝2，求⊙O的半径r.(第3题)应用于探究数量和位置关系4．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC.(1)猜想：线段OD与BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论；(2)求证：PC是⊙O的切线．最新人教版九年级数学精品资料设计最新人教版九年级数学精品资料设计3(第4题)答案1．解：(1)直线CD与⊙O相切．理由如下：连接OD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.最新人教版九年级数学精品资料设计最新人教版九年级数学精品资料设计4即∠ADO＋∠1＝90°.∵OB＝OD，∴∠CBD＝∠1.又∵∠CDA＝∠CBD，∴∠1＝∠CDA.∴∠CDA＋∠ADO＝90°.即∠CDO＝90°.∴OD⊥CD，又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．(2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°.设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得：x＝6.即BE＝6.(第1题)(第2题)2．(1)证明：连接OA，OB，OC，如图，∵AB与⊙O相切于A点，∴OA⊥AB.即∠OAB＝90°.∵四边形ABCD为菱形，∴BA＝BC.又∵OA＝OC，OB＝OB，∴△ABO≌△CBO(SSS)．∴∠BCO＝∠BAO＝90°.∴OC⊥BC，∴BC为⊙O的切线．(2)解：如图，连接BD，∵△ABO≌△CBO，∴∠ABO＝∠CBO.∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC.∴点O在BD上．∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.最新人教版九年级数学精品资料设计最新人教版九年级数学精品资料设计5∵∠BOC＝∠ODC＋∠OCD，∴∠BOC＝2∠ODC.∵CB＝CD，∴∠OBC＝∠ODC.∴∠BOC＝2∠OBC.∵∠BOC＋∠OBC＝90°，∴∠OBC＝30°.∴∠ABC＝2∠OBC＝60°.3．解：(1)⊙O与BC相切，理由如下：如图所示，连接OD，OB，∵⊙O与CD相切于点D，∴OD⊥CD.∴∠ODC＝90°.∵四边形ABCD为菱形，∴AC垂直平分BD，AB＝AD＝CD＝CB.∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上，∵OD＝OB，OC＝OC，CB＝CD，∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC＝∠ODC＝90°.又∵OB为⊙O的半径，∴⊙O与BC相切．(2)∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD.∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠COD＝∠OAD＋∠ADO，∴∠COD＝2∠CAD，∴∠COD＝2∠ACD.又∵∠COD＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝30°.∴OD＝12OC，即r＝12(OE＋CE)＝12(r＋2)，∴r＝2.(第3题)4．(1)解：猜想：OD∥BC，OD＝12BC.证明：∵OD⊥AC，∴AD＝DC.∵AB是⊙O的直径，∴OA＝OB.最新人教版九年级数学精品资料设计最新人教版九年级数学精品资料设计6∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，OD＝12BC.(第4题)(2)证明：如图，连接OC，设OP与⊙O交于点E.∵OP⊥AC，∴AE︵＝CE︵，即∠AOE＝∠COE.在△OAP和△OCP中，∵OA＝OC，∠AOP＝∠COP，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP.∴∠OCP＝∠OAP.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°.即OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．