力学量本征值问题的代数解法

量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》1第九章力学量本征值问题的代数解法本征值问题的解法:分析解法，代数解法§9.1一维谐振子的Schrödinger因式分解法升、降算符一、Hamilton量的代数表示一维谐振子的Hamilton量可表为2222121xpH采用自然单位（1），（此时能量以为单位，长度以/为单位，动量以为单位）则222121xpH而基本对易式是ipx,。令)(21ipxa，)(21ipxa其逆为)(21aax，)(2aaip。利用上述对易式，容易证明(请课后证明)1],[aa将两类算符的关系式)(21aax，)(2aaip代入一维谐振子的Hamilton量222121xpH，有21ˆ21NaaH上式就是Hamilton量的因式分解法，其中aaNˆ。由于NNˆˆ，而且在任何量子态下0),(),(aaaaN量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》2所以Nˆ为正定厄米算符二、Hamilton量的本征值下面证明，若Nˆ的本征值为n，,2,1,0n，则H的本征值nE为（自然单位，）21nEn，,2,1,0n证明：设|n为Nˆ的本征态(n为正实数)，即nnnNˆ利用1],[aa及aaNˆ容易算出aaN],ˆ[，aaN],ˆ[因此nanaN],ˆ[。但上式左边nnanaNnNanaNˆˆˆ由此可得nannaN)1(ˆ。这说明，na|也是Nˆ的本征态，相应本征值为)1(n。如此类推，从Nˆ的本征态n|出发，逐次用a运算，可得出Nˆ的一系列本征态n|，na|，na|2，…相应的本征值为n，1n，2n，…因为Nˆ为正定厄米算子，其本征值为非负实数。若设最小本征值为0n，相应的本征态为0n，则00na此时00000ˆnnaanN即0n是Nˆ的本征值为0的本征态，或00n。此态记为0|，又称为真空态，亦即谐振子的最低能态(基态)，对应的能量本征值(加上自然单位)为2/。量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》3利用aaN],ˆ[同样可以证明nannaN)1(ˆ这说明na也是Nˆ的本征态，本征值为)1(n。利用上式及000ˆN，从0出发，逐次用a运算，可得出Nˆ的全部本征态：利用1],[aa，有Naaaaˆ11。已知0是Nˆ的本征态，本征值是0由nannaN)1(ˆ可知010ˆaaN即0a也是Nˆ的本征态，本征值是1。下面看02a是否也是Nˆ的本征态，本征值是多少？显然02000ˆ00)ˆ1(000ˆ22222aaaaaNaaaNaaaaaaaaaN故02a也是Nˆ的本征态，本征值是2。这样对本征态0|，0|a，0|2a，…Nˆ本征值为0，1，2，…H本征值为2/1，2/3，2/5，…所以，a可以成为上升算符，a可以称为下降算符。证毕。量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》4这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。利用归纳法可以证明（课下证）：Nˆ（即H）的归一化本征态可表为（为什么？）0)(!1nann且满足nnnH21，nnnn由0)(!1nann得0)()!1(111nann所以1|10|)()!1(10|)(!1|11nnannannann从而有nnna|1|而由nnnaanN||ˆ得nnnaan|1所以naanna|11|或1||nnanaa上式作用任一左矢|m，有1||||nnamnaam量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》5利用1],[aa，有1aaaa，代入上式，即1|||1|nnamnaam或1|||||nnamnmnaam利用1|1|nnna，上式变为nnmnmnnam|||1|1|移项，得nnmnam|1|1||。上式对任意m都成立，所以nnna|11|或1||nnna。连同1|1|nnna，这就是下降和上升算符的定义,很有用处。三、升降算符的应用1.坐标和动量算符的矩阵元计算利用1|1|nnna1||nnna以及)(21aax，)(2aaip容易证明：)1(2,)1(211111nnnnnnnnnnnnnnipnnx拿第一式的证明为例。因为)(21aax，所以量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》6)1(21)1|'1|'1(21)1||'1|1|'(21)||'||'(21||'1,'1,''nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnannannxnx2.能量本征态在坐标表象中的表示考虑基态0|，它满足00|a即00)(ipx。在坐标表象中，上式可以写为00|'ipxx插入完备性关系1|''''|''dxxx得00|''''||'''dxxipxxx已经知道)'''('''||'xxxixpx令1，代入前式可以得出00|'')]}'''('dd[)'''('{''dxxxxiixxxx利用积分中δ函数的性质可得00|''dd'xxx把xx'，并注意)(0|0xx，有0)(dd0xxx解出得202)(xex量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》7添上自然单位，可得出在坐标表象中的归一化基态波函数为22410)(xex而坐标表象中激发态的波函数为0!1)(nnaxnnxx由于)(21ipxa，添上长度的自然单位/1，可得xxadd121所以241222dd1!1)(xnnexxnx上次课复习)(21ipxa，)(21ipxa)(21aax，)(2aaip222121xpH，21ˆ21NaaH，21nEn，,2,1,0n1|1|nnna，1||nnna，0)(!1nann升降算符的应用四、S-方程因式分解的条件上述的因式分解法是Schrödinger提出来的。量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》8可以证明，对于存在束缚态的一维势阱xV，只要基态能量0E有限,'0存在,则可定义相应的升降算符，并对Hamilton量进行因式分解。另外还可以证明，对于r幂函数形式的中心势)(rV，只当rrV/1~)(（Coulomb势）或2~)(rrV(各向同性谐振子势)时，径向S-方程才能因式分解。总之，S-方程的因式分解与经典粒子束缚运动轨道的闭合性有某种关系。§9.2角动量算符的本征值和本征态前面我们学习了轨道角动量、自旋角动量的性质（本征值和本征态）以及它们之间的耦合问题。下面我们对角动量算符的本征值和本征态作一般的讨论。一、一般角动量算符的对易关系如果算符j，其三个分量zyxjjj,,满足下列对易关系zyxjijj],[，xzyjijj],[，yxzjijj],[则以zyxjjj,,作为三个分量的矢量算符j称为角动量算符。且式zyxjijj],[，xzyjijj],[，yxzjijj],[称为角动量的基本对易式。轨道角动量l，自旋角动量s以及总角动量jsl的各分量都满足此基本对易式。以下根据此基本对易式及角动量算符的厄米性来求出角动量的本征值和本征态。定义2222zyxjjjj利用角动量分量间的一般对易式容易证明：0],[2jj，zyx,,定义yxjjji其逆表示为)(21jjjx，)(i21jjjy同样可以证明：量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》9jjjz],[zzjjjjj22zjjjjj2)(222zjjjjjj利用角动量的定义及分量的对易关系，上述几个式子是很容易证明的。利用yxjjji，有)(2)(2iiii)i)(i()i)(i(22222222zyxyyxxyxyyxxyxyxyxyxyxjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj所以)(222zjjjjjj。二、角动量本征值和本征态的代数解法1.声子的概念前面我们在粒子数表象时所用的对易关系式1],[aa是针对玻色子体系而言的。我们知道，光是玻色子，在被量子化后形成“光子”的概念。同样，晶体里的格波（其实就是一种声波）的能量也是量子化的。人们把量子化了的格波叫做“声子”。声子和光子一样都是玻色子。2.角动量本征值和本征态的代数解法考虑二维各向同性谐振子，相应的两类声子产生和湮灭算符用1a，1a和2a，2a表示,并满足jijiaa],[，0],[],[jijiaaaa，2,1,ji定义正定厄米算符111ˆaaN，222ˆaaN其本征值分别为1n和2n，,2,1,0,21nn量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》10它们分别表示两类声子的数目。1ˆN和2ˆN的归一化共同本征态可表为0!!)()(21212121nnaannnn定义算符xxjaaaaj)(211221yyjaaaaij)(211221)ˆˆ(21)(21212211NNjaaaajzz由此定义角动量升降算符21)i(aajjjyx)()i(12jaajjjyx利用对易式jijiaa],[，0],[],[jijiaaaa，2,1,ji容易证明jijj],[，zyx,,,,这正是角动量的基本对易式（1）。因为jijiaa],[，0],[],[jijiaaaa，2,1,ji所以211212212112121212212112212112211221,i21,,i41,,,,i41)(i21),(21],[aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaajjyx即量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》11zyxjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaajji)(21i)(i21)00(i21,,,,i21,,i21],[2211112212112212121212212112211212122112同理可证其它几个分量对易式。同样可证明关系式12ˆ2ˆ2222NNjjjjzyx其中221121ˆˆˆaaaaNNN，其本征值为,2,1,021nnn。这样，2j的本征值可表为)1(jj，且,25,23,21,2,1,02nj（？）即角动量量子数j只能取非负整数或半整数。由前述可知，21nn是1ˆ