第七章-粒子在电磁场中的运动.

量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》1第七章粒子在电磁场中的运动§7.1电磁场中荷电粒子的Schrdinger方程两类动量一、荷电q粒子在电磁场中的Newton方程（经典描述）质量μ，荷电q的粒子在电磁场中运动，其经典Hamilton为qAcqP221A：电磁矢势，：电磁标势，P：正则动量。将上式代入正则方程，有PΗr.,rΗP.以x分量为例，有)(1.xxxAcqPPHxxqxAcqAcqPxHPiiiix31.)(1第一式给出xxxxAcqvAcqxP.AcqvP对于AcqvP,P：正则动量；v：机械动量。可见，在有磁场的情况下，正则动量和机械动量并不相等。将式)(1.xxAcqPx微分，得（第二步：将xqxAcqAcqPPiiiix31.)(1代入）（.A对t微分）（第三步利用.iiirAcqP）（利用),,(zyxAAxx即tzzAtyyAtxxAtAAxxxxx.）（第四步重新组合）量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》2xxxxxzyxxiixixiiixiiiixiiiixxAcqAtcqAzzAyyAxxxAzxAyxAxcqAtcxqrArtAcqxqxArcqAcqxqxAcqAcqPAcqxqxAcqAcqPAcqPx)(1111......31.31..31.31....即xxAcqAtcqx)(1..所以)1()(1..BcEqAcqAtcqr式中AtcE1电场强度AB磁场强度上式即为荷电q的粒子在电磁场中的Newton方程。式中右边第二项即Lorentz力，实践证明是正确的。二、电磁场中荷电粒子的Schrödinger方程按照量子力学中的正则量子化程序，把正则动量P换成算符Pˆ，即iPPˆ则电磁场中荷电q粒子的Hamiltonian算符可表为qAcqP221ˆ因而Schrödinger方程可表为qAcqPti221一般说来，Pˆ，A不对易，但A是r的函数，利用证明对易关系的一般方法可以证明量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》3AiPAAP利用电磁波的横波条件0A则上述第一方程可表为qAcqPAcqPti22222ˆˆ21三、讨论1.定域的几率守恒与流密度将式qAcqPAcqPti22222ˆˆ21取复共轭，注意到在坐标表象中PPˆˆ*，则*2222*2ˆ21qAcqPAcqPti*第1式－第2式，注意0A，且2A与q不是微分算符，得AcqPPiAPcqPPPPAPAcqPPti*********22**2)(2)()(21)(][21)(令*)()ˆ(21)()(21)(21**********eRAcqPAcqPAcqPPj式中AcqiAcqP11为粒子的速度算符。代入前式量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》4AcqPPiti****2)(2)(得0jt，其中为几率密度，而j为流密度算符。此处非常类似当初引进S-方程时对定域几率守恒的讨论。2.规范不变性在学习电动力学时知道，当矢势和标势作下列规范变换时),(1),('trtctrAAA则电、磁场强度都不改变。利用AtcE1，AB，及0)(，很容易得到证明。对牛顿方程)1(..BcEqr因为已证明电、磁场强度都不改变。其规范不变性是显然的。但对下列S-方程qAcqPti221是否违反规范不变性？为解决这个问题，令ciqe，其中),(tr可以验证qAcqPti221这说明，在对波函数作一定的相位变换后，S-方程仍满足规范不变性。当然，亦可证明，当作以下变换后),('trAAAeciq物理量*、AcqPPj***)(21，量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》5以及AcqP1仍保持不变。§7.2正常Zeeman效应正常Zeeman效应：把原子（光源）置于强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条，此即正常Zeeman效应。问题：谱线为啥可以分裂？1.体系的哈密顿研究对象：原子中的价电子在原子大小范围内，磁场可视为均匀磁场，不依赖于电子的坐标。设磁场为B，则相应的矢势A可取为rBA21取磁场方向为z轴方向，则ByAx21，BxAy21，0zA对碱金属原子，每个原子中只有一个价电子，它在原子核及内层满壳层电子所产生的屏蔽库仑场中运动，则)()(4ˆˆ21)(2221222222222rVyxcBelceBPrVPxceBPyceBPHzzyx式中ixyyxipypxlxyzˆˆˆ是角动量的z分量。上式还比较复杂，我们看根据物理实际，能否化简？在原子中，28222)cm10(~~)(ayx，实验室中的磁场强度)Gs10(5B，可以估算2B项相对于B项的大小，422222104~eBcacBeBB项项量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》6因此可略去B2项，即zlceBrVPH2)(ˆ212上式右侧最后一项可以视为电子的轨道磁矩（zzlce2）与外磁场(沿z方向)的相互作用。2.外加磁场后的能级分裂对碱金属原子，考虑加外场前后的球对称及守恒量问题属性外加磁场前加均匀磁场(沿z方向)后总哈密顿)(ˆ212rVPHzlceBrVPH2)(ˆ212对称性球对称球对称性破坏守恒量lˆ(6.1.1)已证明2ˆl，zlˆ容易证明?守恒量完全集)ˆ,ˆ(lH)ˆ,ˆ,ˆ(2zllH因此能量本征函数可以选为)ˆ,ˆ,ˆ(2zllH的共同本征函数，即),()(),,(lmlnlmnYrRrrr,2,1,0,lnr，lllm,,1,相应的能量本征值为mceBEElnlmnrr2而lnrE就是中心力场V(r)中粒子的Schrödinger方程ErV)(222的能量本征值。显然加外场前后能级分裂情况是不一样的属性加外场前加外场后对称性球对称性球对称性破坏量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》7能量本征值lnrEmceBElnr2简并度12l能级简并全部消除能级简并消除能级分裂发生设分裂后的相邻能级间距为L，则ceBl2/——Larmor频率。且Bl由于能级分裂，相应的光谱线也发生分裂。下图是钠原子光谱黄线在磁场中的正常Zeeman分裂。无外磁场加强磁场原来的一条钠黄线(λ≈5893Å)分裂成三条,角频率为w，w±wL。所以外磁场越强，则分裂越大。作业：p2162第八章自旋§8.1电子自旋在讨论电子在磁场中的运动时，我们发现电子具有轨道磁矩zzlceˆ2ˆ如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来的附加能量为mceBlceBBUzz2ˆ2ˆ显然U是量子化的，它取)12(l个值量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》8在较强的磁场下(10T)，我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它。但是，当这些原子或离子置入弱磁场~1T的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。大量实验事实证明，认为电子仅有三个自由度并不是完全正确的。我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的。1电子自旋存在的实验依据（1）Stern-Gerlach实验（1922年）当一狭窄的S态银原子束通过非均匀磁场后，分为两束。见下图分析：当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩，那在磁场中的附加能量为cosBBU如果经过的路径上，磁场在Z方向上有梯度，即不均匀，则受力dzdBUF/cos从经典观点看cos取值（从11）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值从dzdB/到dzdB/。所以原子应分布在一个带上.但Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。而人们知道，银原子（z=47）基态l=0，所以没有轨道磁矩.而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。只能是电子本身的（核磁矩可忽略），这磁矩称为内禀磁矩。量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》9与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。（2）电子自旋存在的其他证据A．碱金属光谱的双线结构Na原子光谱中有一谱线，波长为5893Å，但精细测量发现，实际上这是由两条谱线组成。93.58951DÅ，95.58892DÅ这一事实，从电子具有三个自由度是无论如何不能解释。B．反常塞曼效应（AnomalousZeemaneffect）原子序数Z为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶，如钠D1和D2，的两条光谱线，在弱磁场中分裂为4条和6条。这种现象称为反常塞曼效应。C.在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距,并不一定为2/Be,而是2/BegD。对于不同能级，Dg可能不同，而不是简单为g(Dg称为eLand因子)。根据这一系列实验事实，G.Uhlenbeck）（乌伦贝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假设①电子具有自旋Sˆ，并且有内禀磁矩sˆ，它们有关系Scmeesˆˆ（与轨道磁矩zeBlcmeMˆ2比较）②电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值2/，所以cmeez2，cmeSezz以eme2为单位，则2sg（而1lg）进一步分析：磁矩和磁场作用为BVS设磁场在z方向不均匀，则利用VF，有量子力学主讲：孟庆田使用教材：曾谨言《量子力学导论》10SSszBFzSzcos为M与之间的夹角。定义BSzcos（实验结果）结论：S态银原子束在非均匀磁场中分裂为朝相反方向偏转的两束，