近世代数讲义(电子教案)-(1)

《近世代数》课程教案1《近世代数》课程教案第一章基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类。教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n的剩余类。教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n的剩余类。教学措施：网络远程。教学时数：8学时。教学过程：§1集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为，且是任一集合的子集。（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A，B，C…表示集合，习惯上用小写拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素。若a是集合A中的元素，则记为AaAa否则记为,。表示集合通常有三种方法：1、枚举法（列举法）：例：A=｛1，2，3，4｝，B=｛1，2，3，…，100｝。2、描述法：)(,)(xpxpxA—元素x具有的性质。例：41aZaaA且。显然例6中的A就是例5的A。3、绘图法：用文氏图（DiagramVenn）可形象地表现出集合的特征及集合之《近世代数》课程教案2间的关系。（3）集合的蕴含（包含）定义：若集B中每个元素都属于集A，则称B是A的子集，记为AB，否则说B是A的子集，记为AB.定义：设AB，且存在BaAa但，那么称B是A的真子集，否则称B不是A的真子集。定义：若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B.结论：显然，ABBABA且.（4）集合的运算①集合的并：BxAxxBA或②集合的交：BxAxxBA且③集合的差：BxAxxBA且④集合在全集内的补：AxExxA且⑤集合的布尔和（对称差）：)()()()(BABAABBABAxBxAxxBA但或⑥集合的卡氏积：BbAabaBA且),(注：BA中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。卡氏积的推广：miAaaaaAAAAmAAAiimmmiim,,2,1,),,,(,,,2121121：成的卡氏积为个集合，那么由它们做是令对上述集合运算，可以得到一批基本公式：ABAAABAAAAAAAAAEEAAAEAAAEAAACABACBACABACBACBACBACBACBAABBAABBA)(;)()6(;;;)5(.;;;)4()()()();()()()3()()(;)()()2(.;)1(吸收律：例题：例1A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B={2}A={1.2.3}B={4.5.6}那么A∩B=空集合.例2A={1.2.3}B={2.4.6}那么A∪B={1.2.3.4.6}A={1.2.3}B={4.5.6}那么A∪B={1.2.3.4.5.6}《近世代数》课程教案3§2映射定义：设是集合A到B的一个对应法则：对于任何一个12nAAA的元12()()niiaaaaA，都能够得到一个唯一的D的元d，那么这个法则叫做集合12nAAA到集合D的一个映射。其中，元d是12()naaa在映射的象，a是b在下的逆象。例1：A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合.φ：（a1,a2,……,an）→a12+a22+……+an2=φ(a1,a2,…,an)是一个A1×A2×…×AN到D的映射.例2：A1={东,西},A2={南}，D={高,低}φ1：（西,南）→高=φ1（西,南）不是一个A1×A2到D的映射.φ2:(西,南）→高，（东,南）→低，则φ2是一个A1×A2到D的映射.例3：A1=D=所有实数所成的集合.φ：a→a若a≠11→b这里b2=1不是一个A1到D的映射.例4：A1=D=所有实数所成的集合.φ：a→a-1不是一个A1到D的映射.定义：我们说，12nAAA到集合D的两个映射φ1与φ2是相同的，假如对任何一个元12()naaa来说，φ112()naaa=φ212()naaa。例5：A=D=所有正整数的集合.φ1：a→1=φ1（a）φ2:a→0a=φ2（a）则φ1与φ2是相同的.《近世代数》课程教案4§3代数运算设给定DAAAfDAAAmm2121:的映射到，如果n=2时，f就叫做代数运算。一般地有定义：任一个DBA到的映射都叫做DBA到的一个代数运算。例1：A={所有整数}，B={所有不等于零的整数}。D={所有有理数}0：（a.b）ba=ab是一个A×B到D的代数运算，即普通的除法.例2：令V是数域F上一个向量空间，那么F的数与V的向量空间的乘法是一个F×V到V的代数运算.例3：A={1},B={2},D={奇，偶}0：（1.2）→奇=12是一个A×B到D的代数运算.例4A={1.2},B={1.2},D={奇，偶}0：（1.1）→奇（2.2）→奇（1.2）→奇（2.1）→偶是一个A×B到D的代数运算.代数运算表：当BA,都是有限集时，那么DBA到的每一个代数运算都可以用运算表表示。设mnbbbBaaaA,,,,,,,2121，则运算表为：1b2b…mb1a2a…na11ba21ba…mba112ba22ba…mba2………………1ban2ban…mnba注：对于代数运算DAB的运算表，要求BA与中元素在上表中的位置互换。在实际工作中，更多的是DBA的情形，这时，有如下定义：《近世代数》课程教案5定义：若AAA到是的代数运算，则可称是A的代数运算或二元运算。§4结合律例题:A={所有整数}，代数运算是普通减法那么（a-b）-c≠a-(b-c)除非c=0.定义：设是集合A的一个代数运算，如果Acba,,都有)()(cbacba，则称满足结合律。定义：设A中的代数运算为，任取)2(nn个元素naaa,,,21，如果所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用naaa21来表示。定理：如果A的代数运算满足结合律，那么对于A的任意)2(nn个元素naaa,,,21来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用naaa21来表示。[论证思路]因n是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。任取一种加括号的步骤)(21naaa，往证：)()(2121nnaaaaaa对n用数学归纳法。①2121)(bbaaan②1b和2b分别是i和in个元素经加括号而运算的结果.③1,1ninni，由归纳假设释之.§5交换律定义：设是集合A的一个代数运算，如果Aba,都有abba，则称满足交换律。定理：设A的代数运算同时满足结合律和交换律，那么naaa21中的元的次序可以任意掉换。[论证思路]《近世代数》课程教案6采用数学归纳法，归纳假设1n时命题成立.对n的情形，任掉换ia的位置，使之成为niiiaaa21.注意niii,,,21是n,,2,1的一个排列.令nik.用结合律和归纳法假设证明之.§6分配律代数运算与的第一分配律和第二分配律的定义，以及的结合律与这两种分配律的综合运用定义：设BA,都是集合，而是AAB的代数运算，而是A的代数运算，如果AaaBb21,,，都有)()()(2121ababaab那么称,适合第一分配律。例.假如B与A都是全体实数的集合，和就是普通的乘法和加法，则b(a1a2)=(ba1)(ba2)就变为b(a1+a2)=(ba1)+(ba2)定理1：设BA,和,如上，如果满足结合律，且,满足第一分配律，那么AaaaBbn,,,,21，都有)()()()(2121nnabababaaab[论证思路]采用数学归纳法，归纳假设1n时命题成立。先后利用：结合律——2n的归纳假设——1n的归纳假设直至完成证明。定义：设BA,和,同上，若AaaBb21,,，若有)()()(2121bababaa，那么称,满足第二分配律.定理2：设BA,和,同上，若适合结合律，而,适合第二分配律。那么)()()(,,,,,1121bababaaAaaaBbnnn都有。§7一一映射、变换在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射《近世代数》课程教案7作重点的讨论。例1：A={1，2，3，4，5}A={2，4，6，8}则φ：12，24，36，42，52。是一个A到A的映射.例2：A={1，2，3，…}A={奇，偶}则φ：1，3，5，…奇，2，4，6…偶是一个A到A的映射.定义：若是在一个集合A到A的映射下，A的每一个元都至少是A中某一个元的象，那么叫做一个A到A的满射。定义：一个A到A的映射，:aa叫做一个A到A单射，假如abab。定义：设是集合A到A的映射，且既是单的又是满的，则称是一个一一映射（双射）。例3：:{1,2,3,}2{2,4,6,}ZZ，其中Znnn,2)(，可知显然是一个双射。注意：Z与偶数集Z2之间存在双射，这表明：Z与它的一个真子集Z2一样“大”。思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A为无限集的充要条件是A与其某个真子集之间存在双射。定理：一个A到A的一一映射带来一个通常用1表示的A到A间的一一映射。证明：由于是A到A的双射，那么就A中任一个元素a，它在A中都有逆象a，并且这个逆象a是唯一的。利用的这一特点，则可确定由A到A的映射1：aaAaAA)(,,:11，如果aa)(，由上述说明，易知1是映射。1是满射：Aa，因是映射aaAa)(,使，再由1的定义知aa)(1，这恰说明，a是a在1下的逆象。由a的任意性，知1是满射。1是单射：2121,,aaAaa若由是满射21aa及的逆象分别是《近世代数》课程教案822111121)(,)(,aaaaaa即及，又是单射21aa，这说明)()(2111aa，所以1是单射。综合上述讨论知：1是A到A的一个双射。结论：设AA:是映射，那么：（1）是双射可唯一的确定一个逆映射AA:1，使得：1是双射；AA1,111；也是1的逆映射，且11)(；（2）是双射AA与同时是有限集或同时是无限集。定义：一个A到A的映射叫做A的一个变换。一个A