现代控制理论知识点汇总

第一章控制系统的状态空间表达式１．状态空间表达式n阶DuCxyBuAxx1:ru1:mynnA:rnB:nmC:rmD:A称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。②状态方程和输出方程都是运动方程。③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。④状态变量的选择不唯一。⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。⑥建立状态空间描述的步骤：a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。３．模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。４．状态空间表达式的建立①由系统框图建立状态空间表达式：a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b每个积分器的输出选作ix，输入则为ix；c由模拟图写出状态方程和输出方程。②由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。利用KVL和KCL列微分方程，整理。③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。方法：微分方程系统函数模拟结构图状态空间表达式注意：a如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。b模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。特征矢量ip的求解：也就是求0)(xAIi的非零解。状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。b有重根时，设３阶系统，1＝2，3为单根，对特征矢量1p，3p求法与前面相同，2p称作1的广义特征矢量，应满足121)(ppAI。系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数部分分式展开模拟结构图状态空间表达式。6．由状态空间表达式求传递函数阵)(sWDBAsICsW1)()(rm的矩阵函数［ijW］ijW表示第j个输入对第i个输出的传递关系。状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(sW是不变的。子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(sW。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。第二章控制系统状态空间表达式的解一．线性定常系统齐次状态方程（Axx）的解：0)(xetxAt二．矩阵指数函数——状态转移矩阵1．Atet)(表示)0(x到)(tx的转移。5个基本性质。2．Ate的计算：a定义；b变换为约旦标准型ATTJ1)(或,11TTeTTeeJttAt或c用拉氏反变换])[(11AsILeAt记忆常用的拉氏变换对2222212cos;sin;)(1;!;1;1;1)(1;1)(sststastesntaseststtatnnatd应用凯莱-哈密顿定理三．线性定常系统非齐次方程（BuAxx）的解：dButxttxt)()()0()()(0。可由拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求Atet)(，然后将B和u(t)代入公式即可。特殊激励下的解。第三章线性控制系统的能控性和能观性一．能控性及能观性定义（线性连续定常、时变系统，离散时间系统）二．线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）判别方法（一）：通过线性变换BuAxxBuTATzTz11１．若A的特征值互异，线性变换（Tzx）为对角线标准型，ATT1，能控性充要条件：BT1没有全为０的行。变换矩阵T的求法。２．若A的特征值有相同的，线性变换（Tzx）为约当标准型，ATTJ1，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的BT1中最后一行元素没有全为０的。②BT1中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为０的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T、1T、BT1。判别方法（二）：直接从Ａ，Ｂ判别BuAxx能控的充要条件是能控性判别矩阵),,,(12BABAABBMn的秩为n。在单输入系统中，M是一个nn的方阵；而多输入系统，M是一个nrn的矩阵，可通过)(TMMrankrankM三．线性定常系统的能观性判别判别方法（一）：通过线性变换CxyAxxTCzyATzTz1１．若A的特征值互异，线性变换（Tzx）为对角线标准型，ATT1，能观性充要条件：TC中没有全为０的列。变换矩阵T的求法。２．若A的特征值有相同的，线性变换（Tzx）为约当标准型，ATTJ1，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的TC中第一列元素没有全为０的。②对应于互异特征根部分，对应的TC中各列元素没有全为０的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求T、1T、TC。判别方法（二）：直接从Ａ，C判别能观性的充要条件是能观性判别矩阵1nCACACN的秩为n。在单输入系统中，N是一个nn的方阵；而多输入系统，N是一个nnm的矩阵，可通过)(TMMrankrankM六．能控性与能观性的对偶原理１．若TAA12，TCB12，TBC12，则),,(1111CBA与),,(2222CBA对偶。对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。２．1与2对偶，则1能控性等价于2能观性，1能观性等价于2能控性。时变系统的对偶原理？？？？七．能控标准型和能观标准型对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。１．能控标准Ⅰ型（如果已知系统的状态空间表达式）①判别系统的能控性。②计算特征多项式0111||aaaAInnn，即可写出A。③求变换矩阵11111ncApAppT，111],,][1,,0,0[BAAbbpn。④求11cT，计算10011bTbc，1ccTc，也可以验证是否有111ccATTA。２．能控标准Ⅱ型①判别系统的能控性。②计算特征多项式0111||aaaAInnn，即可写出A。③求变换矩阵],,,[12bAAbbTnc。④求12cT，计算00112bTbc，2ccTc，也可以验证是否有212ccATTA。３．能观标准Ⅰ型①判别系统的能观性。②计算特征多项式0111||aaaAInnn，即可写出A。③求变换矩阵111nocAcAcT。④求1oT，计算bTbo11，0011ocTc，也可以验证是否有111ooATTA。４．能观标准Ⅱ型①判别系统的能观性。②计算特征多项式0111||aaaAInnn，即可写出A。③求变换矩阵11112,,,TAATTTno，100111ncAcAcT。④求02T，计算bTb102，10002cTc，也可以验证是否有212ooATTA。５．如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型的状态空间表达。0122111012211)(asasasasssssWnnnnnnnnn能控标准Ⅰ型：1210100001000010naaaaA1000b][110nc能观标准Ⅱ型：1210100010001000naaaaA1210nnb]100[c八．线性系统的结构分解1．按能控性分解（状态不完全能控，即nnrankM1），通过非奇异变换xRxcˆ完成。nncRRRRR121，前1n个列矢量是M中1n个线性无关的列，其他列矢量保证cR非奇异的条件下是任意的。2．按能观性分解（状态不完全能观，即nnrankN1），通过非奇异变换xRxoˆ完成。nnoRRRRR1211，前1n个行矢量是N中1n个线性无关的行，其他行矢量保证1oR非奇异的条件下是任意的。3．按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然烦琐，但直观。步骤：①首先按能控性分解（cx能控状态，cx不能控状态）。②对不能控子系统按能观性分解（ocx不能控能观状态，ocx不能控不能观状态）。③将能控子系统按能观性分解（cox能控能观状态，ocx能控不能观状态）。④综合各步变换结果，写出最后的表达式。另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。九．传递函数阵的实现问题1．实现的定义：由)(sW写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函数阵的实现问题。条件：①传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；②元是s的真有理分式。注意：如果不是有理分式，首先求出直接传递矩阵)(limsWDs。2．能控标准型和能观标准型实现单入单出系统，)(sW是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能观标准2型实现。多输入多输出系统，)(sW是矩阵，将)(sW整理成和单入单出系统传递函数相类似的形式，即0122111012211)(asasasasssssWnnnnnnnnn；此时的110n是rm维常数阵。其能控标准型和能观标准型实现与单入单出系统类似，只是各矩阵中的0变为全零矩阵，1变为单位矩阵I，常数变为常数乘单位矩阵，即Iaa00。注意：能控标准型实现的维数是rn；能观标准型实现的维数是mn。3．最小实现（维数最小的实现）CxyBuAxx为)(sW最小实现的充要条件是),,(CBA是完全能控能观的。步骤：对给定的)(sW，初选一种实现（能控标准型或能观标准型），假设选能控标准型，判断是否完全能观测，若完全能观测则就是最小实现；否则进行能观性分解，进一步找出能控能观部分，即为最小实现。注意：传递函数阵)(sW的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的。十．传递函数)(sW中零极点对消与能控性和能观性之间的关系对单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件是传递函数没有零极点对消。而对多输入多输出系统，传递函数阵没有零极点对消只是最小实现的充分条件，也就是说，即使存在零极点对消，系统仍有可能是能控能观的（p147例3-19）。对单输入单输出系统，若传递函数出现了零极点对消，还不能判断到底是