鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”解一（100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；36-14=22（只）……………………………鸡。解二（4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；36-22=14（只）…………………………兔。（答略）（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。（例略）（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。（例略）（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”解一（4×1000-3525）÷（4+15）=475÷19=25（个）解二1000-（15×1000+3525）÷（4+15）＝1000-18525÷19=1000-975=25（个）（答略）（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？”解〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2=20÷2=10（只）……………………………鸡〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）鸡兔同笼目录1总述2假设法3方程法一元一次方程二元一次方程4抬腿法5列表法6详解7详细解法基本问题特殊算法习题8鸡兔同笼公式1总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简单的算法。（总脚数-总头数×鸡的脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数（94－35×2）÷2=12(兔子数)总头数（35）－兔子数（12）=鸡数（23）解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数×2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。2假设法假设全是鸡：2×35=70（只）鸡脚比总脚数少：94－70=24（只）兔：24÷(4-2)=12（只）鸡：35－12=23（只）假设法（通俗）假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只）兔：24÷2=12（只）鸡：35-12=23（只）3方程法一元一次方程解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。4x+2(35-x)=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=24÷2x=1235-12=23(只）或解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只）答：兔子有12只，鸡有23只。注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。二元一次方程解：设鸡有x只，兔有y只。x+y=352x+4y=94（x+y=35)×2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把y=12代入（x+y=35)x+12=35x=35-12（只）x=23（只）。答：兔子有12只，鸡有23只4抬腿法法一假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡5列表法腿数鸡（只数）兔（只数）6详解中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x，鸡的数量为y那么：x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出：兔子有12只，鸡有23只。7详细解法基本问题鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只解：我们设想，每只鸡都是金鸡独立,一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是244÷2=122（只）.在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34（只），有34只兔子.当然鸡就有54只。答：有兔子34只,鸡54只。上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数÷2-总头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数特殊算法上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，脚数就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法.还说例1.如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了88×4-244=108（只）.每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡(88×4-244)÷(4-2)=54（只）.说明我们设想的88只兔子中，有54只不是兔子。而是鸡.因此可以列出公式鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想88只都是鸡,那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，68÷2=34（只）.说明设想中的鸡,有34只是兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为假设法.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红，蓝铅笔各买几支？解：以分作为钱的单位.我们设想，一种鸡有11只脚，一种兔子有19只脚，它们共有16个头，280只脚。现在已经把买铅笔问题，转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)=24÷8=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的脚数19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是兔子,8只是鸡,根据这一设想，脚数是8×(11+19)=240（支）。比280少40.40÷(19-11)=5（支）。就知道设想中的8只鸡应少5只，也就是鸡(蓝铅笔）数是3.30×8比19×16或11×16要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16只中，兔数为10,鸡数为6，就有脚数19×10+11×6=256.比280少24.24÷(19-11)=3,就知道设想6只鸡,要少3只。要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子。例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.现在把甲打字的时间看成兔头数，乙打字的时间看成鸡头数，总头数是7.兔的脚数是5,鸡的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成鸡兔同笼问题了。根据前面的公式兔数=(30-3×7)÷(5-3)=4.5,鸡数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。答：甲打字用了4小时30分.例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后(2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数，弟的年龄看作兔头数。25是总头数.86是总脚数.根据公式，兄的年龄是(25×4-86)÷(4-3)=14（岁）.1998年，兄年龄是14-4=10（岁）.父年龄是(25-14)×4-4=40（岁）.因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是(40-10)÷(3-1)=15（岁）.这是2003年。答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所