近世代数课件(全)--3-2-环的定义—思考、解答、结论

2020/6/2近世代数第三章环与域§2环的定义—思考、解答、结论环的特征2020/6/2环、交换环、有单位元的环R1R11,RRaaaaR环：(3)关于加法构成一个交换群;(4)乘法结合律成立;乘法满足交换律的环.存在元素,使得(2)两个代数运算“+”与“.”;(1)非空集合;(5)乘法对加法两个分配律成立.R交换环：有单位元的环R：2020/6/2思考题1、21．{},,Reeeeeee构成环吗？答：构成环，零元=单位元=e.是交换环、有单位元环，10RR,100,{0}RaRaaaR2．有单位元的环答：有且只有一个吗？10RR1R注：我们只讨论单位元的环，即2020/6/2思考题3、结论1R0a0d0adabac()0abcbcd,bc性质在一个无零因子环中,乘法两个是左零因子，存在，若，则，可以是，即可以不同.（任何环加法都有消去律）消去律成立.3．有零因子的环中，乘法有消去律吗？答：没有.若结论1：环是无零因子环乘法适合消去律.2020/6/2思考题4、结论2R10R1R0,,0aabab且是可逆元，若有使得，除环：有单位元环,且（，每个非零元都可逆.的零因子一定不是环的可逆元.你认为他的论断对吗?为什么?结论2：可逆元一定不是零因子，）4．有人说:一个环RR答：对.1100,baabaa，故不是左零因子.同理也不是右零因子零因子一定不是可逆元；除环是无零因子环.2020/6/2思考题5、6结论3R5．除环的非零元对于乘法构成群吗？关于加法构成交换群，所有非一定构成除环，则是除环所有非零元关于乘法构成乘群.答：构成.两个非零元的乘积是非零元，结合律成立，有单位元，每个非零元有逆元.6．若零元关于乘法构成乘群，问R答：不一定.分配律未必保证.吗？结论3：环RR2020/6/2结论4结论4：有单位元环的全体可逆元关于乘法做成群，称可逆元为单位，称此群为单位群.整数环的单位群：高斯整环的单位群：{1，-1}{1，-1，i，-i}2020/6/2思考题7、8结论57．有n(=2)个元的有限无零因子环是8．无限无零因子环一定是除环吗？除环吗？答：是，无零因子环乘法有消去律，有限半群做成群有消去律，故非零元构成乘群.答：不一定，整数环是无限无零因子环，结论5：有限无零因子环是除环，但不是除环.无限无零因子环不一定是除环.2020/6/2结论6域：交换的除环结论6：域是环、交换环、有单位元环、整环、除环.2020/6/2环的特征定义：若环的元素对加法有最大阶n，则称n为环的特征；若环的元素对加法没有最大阶，则称环的特征是无限（或零）.记作charR.定理1：有限环的特征是有限.(因为有限群的阶有限，所以最大阶有限)2020/6/2定理2：无零因子环中任意非零元对加法的阶相同.证明：若都无限，阶相同.||,0,0,()()0ammabmabamb若0|||mbbm||,0()()0bnnbanbnab0|||naan||.bm2020/6/2定理3：无零因子环的特征或者无限，或者为素数.0,0,0,akama1,,1,,charRnnkmkmn且证明：（反证法）设有限且为合数2()()0kamana与无零因子环矛盾，故假设不成立.无零因子环的特征或者无限，或者为素数.2020/6/2定理4：0a(1)(1)00nananaa若1的阶无限，则特征无限；,有有单位元的环，单位元在加群中的阶就是环的特征.charRn证明：若1的阶是n,则