近世代数课件(全)--3-4-理想与商环

2020/6/1近世代数第三章环与域§4理想、商环2020/6/1一、理想的定义与判别RI(1),,abIabI有定义1设为环,为的非空子集.满足:则称的一个理想.R如果I(2),,,aIxRaxxaI有I为R●由定义可知,理想一定是子环.{0}R与本身都是理想称为平凡理想（零理想与单位理想）.R的理想.这两个●吸收律子群2020/6/1{0},0,IaIR的不等于它自身的理想(如果有的话)的真理想.除环只有零理想与单位理想.●,bR11,aaIIR1,bbI●称为R2020/6/1例1Z,,0dZdZd,,dadZzZ有dZ,,0dZdZd试求的所有理想.的全部子群为：为的理想.的全部理想为解Z()dazzdadazdZZ由此知,Z2020/6/1二、理想的运算R12,II12121122{|,},IIaaaIaI12,II定义2设为环,为的理想.分别称为理想的和与交.R集合1212{|}IIaaIaI且R12,II12II12II定理1环的两个理想的和与交都是的理想.R2020/6/1证明(1)111222,,,abIabI，112212()()rsababII121212,()xRxrxaaxaxaII121212()rxaaxaxaxII12II是的理想.R（2）1212,,,,,,rsIIrsIrsI1212,,rsIrsIrsII且1212,,,,,,xRxrrxIxrrxIxrrxII且12II是的理想.R121212,,raasbbII2020/6/1定理2RaRRa环的任意有限多个理想的和(因为).还是理想.R的任意多个理想的交还是理想.设R为环,.令∑是的所有包含的理想所组成的集合R,aR环2020/6/1定义4RaRa()a().IaI设为环,,称环中所有的理想的交为由生成的主理想,,即R包含a记作()a1|(),,,,,niiiiixayxaaymaaxyxyRnZmZ是中包含Ra的最小理想.2020/6/1定理3RaR(){|}.aaRarrR(),ara设为有单位元的交换环,,则证明1,RaaaR,aRR而是的理想().aaR().aaR于是(),aa,rR(),aRa定理4整数环Z的每个理想都是主理想.2020/6/1定义5R12,,,naaaR12()()()naaa12,,,naaa1212(,,,)()()()nnaaaaaa设为环,,则为的理想,称为生成的理想,记作R由2020/6/1例2Z,abZ(,)ab在中,如果,则是怎样,ab(,)(0){0}ab都是零,则解(1)如果的主理想?,abd,stZasbtd()()()(,)dababd11(),()adadbdbd(,)()()()ababd(,)()abd(2)如果不全为零.设为的最大公因数,则存在,使得,从而又因都是的倍数,即,所以从而,ab,ab2020/6/1例3[]Zi(1)Ii2(1)(1)(1),iii在高斯整环中,理想解由哪些元素组成?,2.zZzIxy(1)()1ixyi()(1),xyixyyiI为偶数，1(1)xyixyiI在Z中无解，1.Ixy为奇数，(1){|,}.ixyixy由此知：同奇或同偶(1)(1)[]IiiZi2020/6/1练习证明：Z[x]中(2,x)不是主理想;Q[x]中(2,x)是主理想.2020/6/1三、商环RIaIrI0rIIIaaIaaIaIbIabI/{|}RIaIaR设为环，为的理想.则是的加群意义下的不变子群:（2）①，则②（3）R（1）IR为I在R中的一个陪集:/RI()()()aIbIabI()()aIbIabI（4）的加法与乘法:则关于如上所定义的运算构成环./RII()()aIaI，负元：零元：2020/6/1定义6/11RIRI称环为商环，也称为环的模理想的剩余类环.为交换环,则也是交换环.有单位元,则也有单位元,且/RIRI如R/RI如R/RI()()()aIbIabI()()aIbIabI2020/6/1例4m()mmZZ/(){()|0,1,2,,1}mZmamamZ/()Zm设为大于1的正整数,则为的理想,从而有商环即商环就是模的剩余类环.m2020/6/1例5[]Zi[]/(1).Zii}|{)(为偶数yxyixi1[]xyiZixy()xyiII()[1(1)]1xyiIxyiII[]/1{,1}ZiiII设为高斯整环,试确定解：从而,对任意的为偶数,则为奇数,则所以，这是一个仅有两个元素的域.如果xy如果