近世代数课件(全)--1-2运算律-同态同构

2020/6/1近世代数第一章基本概念§2运算律、同态同构2020/6/1一、运算律定义1设,,,abcA()()abcabc满足结合律.是集合M的代数运算，若都有，则称例1整数集中的加法适合结合律。例2整数集中的减法不适合结合律。注：（1）并不是每一个代数运算都能满足结合律的；（2）代数运算就是二元运算，而4321aaaa至少现在是没有意义的。2020/6/1（3）对四个元素我们可以进行两两运算，进行了三次后就能算出结果，但加括号的步骤显然不止一种：4321])[(aaaa4321)]([aaaa)()(4321aaaa………加括号的步骤不一样，其运算的结果是否一样？2020/6/1定义2设A中的代数运算为，任取)2(nn个元素naaa,,,21最后算出的结果是一样的，那么这个结果就记为，如果所有加括号的步骤naaa21.注意：从定义2可知，naaa21也可能是有意义的.2020/6/1定理1：如果A的代数运算满足结合律，那么naaa21有意义。[论证思路]因n是有限数，所以加括号的步骤必是有限的，任取一种加括号的步骤)(21naaa往证：)()(2121nnaaaaaa2020/6/1定义3设是集合A的代数运算，若,,abA都有ab=ba.则称满足交换律.A的代数运算交换律和结合律，那么naaa21定理2如果同时满足中的元的次序可以任意掉换.2020/6/1定义4是一个B×A到A的代数运算,⊕是一个A)()()(cabacba如果⊕适合结合律,,⊕适合第一分配律,则12,,,,nbBaaaA都有12,aa的代数运算.若,⊕对于B的任何b，A的任何则说,⊕适合第一分配律.,都有类似地可定义第二分配律.)()()()(2121nnbabababbba2020/6/1二、同态同构定义9如果对于两个代数系统定义10,,()()()abAabab:,AA(,)A和有映射满足称:,AA是同态映射.如果对于两个代数系统(,)A(,)A和同态满射,并说,(,)A(,)A和同态.简称A与A同态.(,)A2020/6/1例4,{1,1}AZA(1)()1,nnZ(2)()1,nnZ运算均为通常意义的数的乘法不是同态映射()1,()1,nm()1nm()()(1)(1)1nm()1(),nm()1nm()()111nm是同态映射，但不是满射2020/6/1例4,{1,1}AZA1,,0(3)()1,,0nZnnnZn运算均为通常意义的数的乘法是同态映射，是满射2020/6/1例5A为全体方阵的集合，运算为矩阵乘法是同态映射，是满射:()MMMA所以A与AR运算为数的乘法A同态.定理3如果(,)A(,)A和同态，那么(1)若满足结合律，则也满足结合律；(2)若满足交换律，则也满足交换律.2020/6/1定理4(,,)A(,,)AAA:,,,,设和都是代数系统，而映射关于以及都是同态满射，满足第一分配律也满足第一分配律；那么（1）若,,满足第二分配律也满足第二分配律.（2）若2020/6/1定义11(,)A(,)A设是到的同态映射，若是个一一映射，那么称是同构映射.(,)A(,)A到若有同构映射存在，称AA与同构，记为AA.,,AZAZ而与:(,)(,(),AAnnnA)其中例6设通常的加法“+”，现作，那么是同构映射.都是整数中2020/6/1定理5如果(,,)A(,,)A和同构，那么(1)满足结合律也满足结合律；(2)满足交换律也满足交换律；(3),满足分配律,也满足分配律.注意：由上述表明，同构的两个代数体系由运算所带来的规律性是相同的.2020/6/1定义12一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。于是，由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质。将代数体系的代数性质的总合统称为它的代数结构。定义13同构的代数体系由于完全相同的代数结构。2020/6/1研究代数体系的首要目的就是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构。而为了确定一个代数体系的代数结构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可。2020/6/1对于○与○来说的一个A与A间的同构映射，叫做一个关于○的A的自同构。例7A={1，2，3}.代数运算○由下表给定:○123123333333333则:12,21,33是一个关于○的A的自同构.定义142020/6/1思考题2两个代数体系如果同构了，那么它们之间的同构映射是唯一的吗？（不唯一）(,)Q1:xx2:xx3:2xx2020/6/1课堂练习：011,(1)(0)(1)mnm},3,2,1{},,3,2,1,0{NN(,),)NN与(设证明：不同构.NN(0),(1),nNm证明：（反证法）如果设0n0不在N中，矛盾。(,),)NN与(不同构.2020/6/1作业：},{},{NN与},{},{ZZ与},{},{QQ与Q证明：（1）不同构（普通乘法）.（2）不同构.（3）不同构.（其中为非零有理数集）.2020/6/1F44321}),,,{(FFaaaaaAi)(24321FMFxxxxxAi(,),)AA与(（4）设为数域，证明：是同构的。”为矩阵的加法）（其中“+”为数组间的加法，“